Polinomios: Búsqueda de raíces y factorización.

Resulta que un día estaba trabajando en cosas de la universidad y necesitaba factorizar unos polinomios. Algo de lo más típico cuando estás trabajando con física. La cuestión es que para factorizar, un proceso habitual es encontrar las raíces del polinomio y eso me hizo plantearme cuál es la relación entre la factorización y la búsqueda de raíces de un polinomio. Ambos son procesos que comúnmente se usan con objetivos distintos, sin embargo, son prácticamente equivalentes. Así que primero de todo, vamos a dar una pequeña definición de ambos procesos para asegurarnos de que todos estamos en la misma página cuando vayamos a profundizar un poco sobre el tema. Además, mencionaré algunas de las aplicaciones más importantes de ambos procesos.

  • Factorización: Es expresar un elemento como un producto de factores generalmente más sencillos. El caso que todos conocemos y recordamos del colegio es la factorización de números en números primos. Ejemplo: 25=5·5 ; 12=2·2·3 ; etc.
    Este proceso se puede aplicar también a polinomios. La idea es tomar un polinomio de un grado arbitrario y expresarlo como un producto de polinomios de grado 1. Ejemplo: x^2-1=(x+1)·(x-1) ; x^2+3x+2=(x+1)·(x+2)
    Aplicaciones: Muchas veces cuando queremos integrar o aplicar Laplace a una división de polinomios bastante fea podemos simplificarnos la vida si utilizamos la descomposición en fracciones simples y para eso hace falta factorizar.
  • Búsqueda de raíces: Consiste en encontrar para qué valores de x una función vale 0. Por ejemplo, la función polinómica P(x)=x^2-1 tiene por raices el -1 y el +1 ya que cuando x=-1 ó x=+1 entonces P=0. El nombre de raíz proviene de la interpretación gráfica de esa definición. El polinomio vale 0 cuando la gráfica que lo representa toca “el suelo” y de ahí que se le llame “raíz” del polinomio.
    Aplicaciones: El uso más importante y común es la resolución de ecuaciones, algo que es absolutamente crucial en matemáticas y tiene casi infinitos ámbitos de aplicación.

Bien, ahora que ya tenemos esas definiciones podemos meternos en harina. Para hacerlo vamos a resolver un ejemplo juntos e iremos RAZONANDO cada paso que demos. Digamos que queremos racionalizar el polinomio P(x)=x^2+3x+2. Eso significa que queremos expresar el polinomio de tal manera que quede P(x)=(x+a)(x+b) donde “a” y “b” son todavía desconocidos.

Debemos recordar que ambos son el mismo polinomio P(x) solo que escrito de distintas maneras. Vamos a prestar especial atención a la forma factorizada de P(x). Las raíces de eso polinomio serán -a y -b.Entonces, si encontramos las raíces de P(x), podremos conocer los valores de “a” y “b” y así factorizar el polinimio. Esto es realmente práctico ya que resulta que podemos averiguar las raíces de P(x) utilizando su otra expresión P(x)=x^2+3x+2 y la típica fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. 

Finalmente combinando la información obtenida hasta ahora podemos concluir que:
-a=-2=>a=2 ; -b=-1=>b=1 ; P(x)=x^2+3x+2=(x+a)(x+b)=(x+2)(x+1)

Y por eso cuando factorizamos utilizamos la búsqueda de raíces de un polinomio. Es un método muy rápido comparado con otros más “tradicionales” como la división polinómica. Además, es un método que se puede aplicar sin importar cuál sea el valor de esas raíces. Sin embargo, el método tiene UNA pega. La x de mayor grado debe ir sola. Por ejemplo, si es un polinomio de segundo grado habrá que expresarlo como P(x)=x^2+bx+c en lugar del típico ax^2+bx+c.

Sobre eso ya profundizaré en la siguiente entrada. De momento me contento con que hayáis entendido lo explicado y que la siguiente vez que tengáis que factorizar sepáis el por qué de las cosas que hacéis.

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La resonancia es la clave

La resonancia es un fenómeno que trae a los ingenieros de cabeza por el gran potencial destructivo que tiene. Cualquier sistema que tenga una fuerza recuperadora tratando de devolver el sistema a su posición de equilibrio, como lo es la gravedad en un columpio o la fuerza elástica en una estructura de metal, es susceptible a la resonancia. Y como haya una fuerza externa que resuene con tu sistema te aseguro que estás en problemas porque eso no puede acabar bien. El ejemplo clásico es el Tacoma Bridge, donde tan solo la fuerza de un vientecito hizo esto.

(La fiesta empieza en el minuto 1:08 , por algún motivo no consigo que inicie ahí directamente)

Para explicarlo un poco por encima me he animado a probar el formato de vídeo y esto es lo que ha salido.

 

Como digo en el vídeo, si gusta el tema se puede profundizar en él para hacer un análisis más matemático. Requiere trabajo y esfuerzo pero es lo que tienen las cosas interesantes. Requieren un sacrificio:)

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Describiendo el movimiento: Aceleración angular

Para terminar la introducción al movimiento angular o como me gusta llamarlo, las cosas que giran, vamos a ver la aceleración angular. Si habéis pasado por la entrada de la velocidad angular esta os parecerá más que sencilla ya que la aceleración angular simplemente es la tasa de cambio de la velocidad angular respecto al tiempo de manera que si conocemos ésta, entonces a base de derivar podemos encontrar la aceleración angular del punto que estemos estudiando. Una descripción un poco menos oficial de aceleración angular es cómo de rápido cambia la velocidad a la que recorre un ángulo un cuerpo que está rotando.

Como siempre vamos a pensar en un ejemplo para poder visualizar de lo que estamos hablando. Imaginad que somos el técnico responsable de este aerogenerador y observamos que el viento comienza a soplar con más fuerza. Entonces su velocidad angular empieza a aumentar progresivamente y en nuestra consola de comandos vemos que la velocidad de giro de las palas respecto a su eje es ω(t)=1t+1 rad/s , es decir, a cada segundo las palas giran 1 radián por segundo más rápido. Si queréis confirmar esta afirmación simplemente debéis derivar ω respecto al tiempo y efectivamente obtendréis una aceleración angular α(t)=1 rad/s2.

Al igual que hicimos en entradas anteriores ahora es el momento de relacionar el movimiento angular y lineal ya que ambos hablan de lo mismo pero en distintos idiomas. Si la relación o traducción cuando hablamos de posición es rθ = s y con velocidad es rω = v creo que ya podréis imaginar que con la aceleración será rα = a de manera que los puntos más alejados al eje de giro tendrán una aceleración lineal mayor ya que aunque la aceleración angular α no cambie para cualquier punto en las palas, el radio r sí lo haceEsta aceleración lineal será tangente a la trayectoria del punto que estudiemos ya que está provocando que se mueva más deprisa sin afectar a su dirección. Por otro lado debéis recordar que ya hablamos en la entrada anterior de que la responsable de la aceleración normal es los movimientos angulares es la velocidad angular.

Y básicamente con esta serie de entradas de Describiendo el movimiento habéis experimentado una introducción a la cinemática en vuestras carnes. Ahora llega el turno de algo mucho más interesante, la dinámica. Pero eso lo dejamos para otro entrada:)

 

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Describiendo el movimiento: Velocidad angular

Una vez vista la posición angular el paso natural es apuntar ahora a por la velocidad angular. Ya tenéis que saber de memoria cómo funciona esto de tanto que os he insistido a todo lo largo y ancho de este blog pero bueno, lo decimos una vez más porque es algo que debéis tener siempre en mente. Si la velocidad angular ω es el cambio de la posición angular θ respecto al tiempo, ¿cómo podemos saber la velocidad instantánea a partir de la posición instantánea? Derivando. Si os veis un poco perdidos con eso siempre podéis mirar entradas anteriores donde esto se explica con más detalle.

Un planeta y su satélite orbitando respecto a su centro de masas común.

Ahora vamos a poner un ejemplo visual que es como de verdad se comprenden bien estas chuladas.

La posición angular del planeta P será θP(t)=-1·t rad y la de su luna L será θL(t) = -1·t + π . Si ahora derivamos como dijimos antes encontraremos lo que ya intuimos a simple vista a partir de la imagen, la velocidad angular de ambos cuerpos es la misma y constante. Además debe ser negativa ya que se están moviendo en el sentido que consideramos negativo. Y efectivamente es el resultado al que llegamos tras derivar ya que lo que obtenemos es ωP(t)=-1 rad/s y ωL(t)=-1 rad/s. Por eso es esencial saber lo que uno está haciendo y no derivar a lo loco. Cuando se os olvide un signo y lleguéis a un resultado completamente absurdo, que os aseguro que nos pasa a todos y a mí con más frecuencia de la que me gustaría, seréis capaces de detectar que hay un error y corregirlo.

También hay otro punto al que debemos prestar atención. Vamos a hablar ahora de la relación entre velocidad angular y lineal. Fijaos en este detalle, la velocidad angular de ambos cuerpos es la misma (-1 rad/s) pero es evidente que el planeta recorre una distancia menor que su luna para un mismo intervalo de tiempo. La única explicación posible para eso es que su luna se esté moviendo más rápido que el planeta.

¿Pero entonces en qué quedamos? ¿Tienen la misma velocidad o no? Bueno depende de qué velocidad hablemos. Debéis ser capaces de diferenciar bien entre velocidad angular y lineal. En este caso su velocidad angular es la misma ya que como podéis ver recorren el mismo desplazamiento angular para un intervalo de tiempo, sin embargo, su velocidad lineal es distinta ya que la luna recorre más distancia para dicho intervalo. ¿Recordáis cuando en la entrada de la posición angular explicamos la relación entre ángulo recorrido θ y longitud del arco recorrido s (rθ = s)? Con la velocidad es prácticamente lo mismo. La velocidad angular ω a la que recorres un ángulo es proporcional a la velocidad lineal v a la que recorres el arco. En concreto esa proporción es rω = v donde esa velocidad v será, como explicamos en una entrada anterior, tangente a la trayectoria del cuerpo.

Espero que a estas alturas haya algún que otro lector con la mosca detrás de la oreja. Cuando hablamos de la velocidad lineal dejamos bien claro que era un vector y una propiedad de estos es que pueden cambiar tanto su tamaño como su dirección y si esto ocurre significa que el cuerpo que estudiamos está acelerando. En este caso hemos comprobado ya que el tamaño de ese vector velocidad es siempre el mismo ya que su celeridad no cambia, sin embargo no podemos decir lo mismo acerca de su dirección así que estos cuerpos deben tener una aceleración tal que le hace cambiar su dirección pero no su velocidad. Justamente una idea así la vimos hace unas pocas entradas cuando hablamos de la aceleración normal y para encontrar su valor solo necesitamos hacer unos pocos cálculos con vectores. Sin hacer demasiado hincapié os haré un pequeño resumen de estos cálculos para que veáis un ejemplo.

  • Vector velocidad: Para los cálculos necesitaremos la velocidad expresada en forma de vector. En este caso en el que un cuerpo rota de manera constante la velocidad expresada en forma de vector es v=rω(-sen(ωt),cos(ωt)) y su módulo es rω.
  • Cálculo de at y ac para un caso genérico

    Aceleración tangencial at: El cambio del módulo del vector velocidad en el tiempo d(|v|)/dt es nulo ya que es una constante así que la aceleración tangencial es igualmente nula como ya hemos visto antes.

  • Aceleración normal ac: Por último, el cambio de la dirección del vector velocidad d(v/|v|)/dt es el vector –ω(cos(ωt),sen(ωt)) así que la aceleración normal será ac=rω2(-cos(ωt),-sen(ωt)) cuya dirección cambia en el tiempo y su módulo es constante.

 

Esta es básicamente la aceleración que sufre un astronauta que orbita un planeta. En resumen, la aceleración tangencial cuando un cuerpo que rota a una velocidad angular constante es nula y la aceleración normal tiene un valor constante de 2=v2/r siempre apuntando al centro, de hecho, el vector de la aceleración normal siempre apunta a lo que se denomina centro de curvatura y de ahí el subíndice c en ac pero solo en el caso de un movimiento circular uniforme tiene un módulo constante.

Y con esta pequeña base creo que podemos dar por vista la velocidad angular. Poquito a poco estamos a punto de dejar el movimiento rotacional casi listo. Nos vemos en la siguiente entrada con la aceleración angular.

 

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Describiendo el movimiento: Posición angular

Ahora que ya hemos visto con detalle el movimiento lineal ha llegado el momento de ponerse juguetones y ver como describimos el movimiento cuando las cosas giran. Esto se debe a que el movimiento circular tiene especial importancia en la física. Pero antes de ponernos manos a la obra debéis tener en cuenta que la trigonometría va a estar presente en esta fiesta así que no estaría mal que le echarais un vistazo.

Ángulo de referencia = Línea horizontal Sentido positivo = Sentido antihorario

Un buen comienzo sería empezar con lo que se denomina posición angular, o lo que es lo mismo, el ángulo girado. Si la posición lineal lo que nos mide es la distancia hacia un punto que consideramos el origen de nuestro sistema de referencia, entonces nuestra posición angular lo que nos mide es el ángulo girado respecto al ángulo de referencia que escojamos. Como todo en la vida hay tradiciones que seguir al respecto. Por costumbre solemos considerar como ángulo de referencia a la línea horizontal y como el sentido positivo al giro antihorario aunque esto no es más que un convenio que se acordó hace tiempo y nada más. Pero los convenios no acaban ahí. Ese ángulo girado había que escribirlo con demasiada frecuencia así que le asignaron una letra con tal de mover menos la mano, y a falta de letras normales hubo que tirar de letras griegas. En resumen, a ese ángulo girado le solemos llamar θ. Puede que el la escuela lo hayáis escuchado nombrar como zeta pero que no os engañen, se pronuncia teta. Al fin y al cabo es lo que tiene la trigonometría, está llena de senos y tetas.

r·θ = s

Después del chiste del día ha llegado el momento de seguir. Dentro de lo que es la posición angular hay una relación que es muy importante conocer, estoy hablando de la conexión entre el desplazamiento angular θ y el arco de circunferencia s que forma. Por ejemplo, la imagen de la derecha muestra el rastro rojo que ha dejado un pintor al ir desde A hasta B. Si sabemos que el radio r del círculo es de 2 metros, ¿podemos saber cuánto mide el arco de circunferencia AB? Pues si trabajamos con radianes y más os vale hacerlo es pan comido. Ese ángulo es de 90º o lo que es lo mismo, π/2 radianes. También sabemos que el radio es de 2 metros así que ese arco de circunferencia AB será de π metros. Como siempre al escribirlo con mates se resume bastante ya que simplemente nos queda r·θ = s.

Y así de sencilla de comprender es la posición angular. ¿Ojalá todo fuera así verdad? Nos vemos en la siguiente entrada con algo con un poco más de miga. La velocidad angular.

 

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Movimiento lineal: Resumen

Y finalmente llegamos al punto en el que con pocas palabras podemos hablar de conceptos complejos como la posición, velocidad y aceleración. Recordad que si en cualquier momento os sentís perdidos podéis acudir a las entradas de cada una por separado donde profundizamos más en cada concepto.

La mejor manera de definirlos es así:

  • Posición: El lugar que ocupa un cuerpo en un instante de tiempo determinado.
  • Velocidad: El cambio de posición de un cuerpo en el tiempo.
  • Aceleración: El cambio de velocidad de un cuerpo en el tiempo.

Es importante recordar que todos ellos quedan definidos como funciones vectoriales cuyo valor depende el tiempo.

Para cada instante de tiempo el vector que define su posición cambia

Para cada instante de tiempo el vector que define su posición cambia

Un ejemplo de esto es la posición de nuestra antigua amiga la hormiga Ramona cuya posición quedaba descrita por pos(t)=(t+3,t)Un punto positivo de conocer la posición de un cuerpo en cualquier instante de tiempo es que a base de darle un poco de caña a las mates podemos llegar a conocer su velocidad también para cualquier instante de tiempo. Algunos ya habréis deducido que hablo de derivar la función de la posición instantánea para así conseguir la velocidad instantánea. En este caso la velocidad de nuestra hormiga será vel(t)=(1,1). Y esto nos lleva a otro punto de lo más interesante. Ahora que conocemos la velocidad instantánea podemos volver a usar esa maravillosa herramienta que es la matemática para conocer la aceleración instantánea. El proceso es exactamente el mismo que aplicamos antes y como podréis deducir, si la hormiga se mueve a velocidad constante hacia arriba y hacia la derecha, entonces su aceleración es nula.

En resumen, lo bueno de conocer la posición instantánea de un cuerpo es que también nos da acceso a su velocidad y aceleración. ¿Pero es posible aplicar este concepto al revés? Si conocemos tan solo la aceleración, ¿podríamos conocer la velocidad y posición? Afortunadamente así es. Es muy similar a lo que hicimos con nuestra piscina hace unas entradas. En lugar de derivar para ver la tasa de cambio de la función, habrá que integrarla para ver la consecuencia de ese cambio pero debemos conocer un dato adicional. A ese dato adicional se le suele llamar condición inicial. Para verlo más claro pongamos un ejemplo cortito.

Si mi aceleración es 1 m/s2 y transcurre un segundo entonces mi velocidad habrá aumentado 1 m/s. Pero mi velocidad actual dependerá de cual era mi velocidad inicial. Si al principio estuviera parado entonces mi velocidad actual sería 1 m/s pero si mi velocidad inicial fuera 2 m/s entonces ahora iría a 3 m/s.

Ya para cerrar con broche este resumen vamos a ver lo que me gusta llamar como tangencias inesperadas. Resulta que siempre os encontraréis con que el vector velocidad de un cuerpo es tangente a la función que define la posición, es decir, el vector velocidad es tangente a la trayectoria. Igualmente el vector aceleración es tangente a la función que define la velocidad del objeto.

Cuando algo ocurre siempre es porque hay algún motivo matemático detrás. Podría intentar explicarlo pero ya conocéis el refrán. Una imagen vale más que mil palabras. Pero solo por si acaso aquí tenéis un pequeño resumen de lo que viene a decir la imagen. En verde claro veis la trayectoria de m. El cambio del vector posición en el pequeño intervalo de tiempo dt es dr y el cambio del vector velocidad en el tiempo es dv. Supongo que con eso tenéis pistas suficientes para desvelar el misterio.

Y así amigos es como llega el final de este resumen del movimiento lineal. Solo queda desvelar una cosa. ¿Por qué llamarlo movimiento lineal y no movimiento a secas? La razón es sencilla, por evitar confusiones con otro tipo de movimiento que además me gusta mucho. Nos vemos en la siguiente entrada hablando del movimiento rotacial😉

 

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Describiendo el movimiento: Aceleración lineal

Ojalá mi coche acelerara como uno de estos bicharracos

Llegamos sin duda a la parte más interesante del movimiento, la aceleración. En pocas palabras la aceleración es el cambio de la velocidad en el tiempo. Dicho así tampoco parece tan interesante pero pensad en lo siguiente. ¿Cuándo vais en avión a 300 km/h sentís algo? A pesar de ir a gran velocidad se tiene la misma sensación que cuando estás sentado en casa con la diferencia de que en el avión estás incómodo y con un cinturón. Sin embargo el despegue es otra cosa, que se te pega el cogote al asiento y todo. Eso sí que mola. Pues eso que sentís durante el despegue es la aceleración del avión.

Así que para poder hablar con propiedad de la aceleración vamos a ponernos un poco más serios con ella. Si venís de ver la velocidad esto no os causará ningún tipo de problema ya que el concepto es exactamente el mismo. Por seguir con el ejemplo cojamos la función que nos describía la velocidad de nuestra hormiga favorita.

La velocidad de la hormiga Lucía era vel(t)=(1,2t) y para ver como cambia compararemos la velocidad de nuestra hormiga al inicio y final de un intervalo de tiempo, además este intervalo será tan pequeño que será como un instante. Como esto es exactamente lo mismo que hicimos para describir la velocidad y seguro que te acuerdas del por qué y cómo lo hicimos, no es cuestión de entrar en detalles de nuevo.
Así que sin más dilación vemos la aceleración instantánea de la hormiga a base de derivar cada componente del vector aceleración. Al hacerlo obtenemos la función que describe la aceleración acel(t)=(0,2). La interpretación de este resultado es que en la dirección horizontal la hormiga se mueve a velocidad constante ya que su aceleración es 0, sin embargo,  en la dirección vertical su velocidad aumenta a un ritmo de 2 m/s cada segundo. Es por eso que la aceleración tiene esas unidades tan raras de m/s2.

Al ser la aceleración un vector podemos expresar sus componentes en el sistema de referencia que queramos. Uno habitual suele ser hablar de las componentes horizontal y vertical como acabamos de hacer pero hay otra forma de expresarla que también es común y tiene mucho significado. Hablo de las componentes tangencial y normal al movimiento. Veamos cada una:

  • Aceleración tangencial: Es aquella en la que el vector aceleración es tangente a la trayectoria que describe el cuerpo. Nos indica como cambia la celeridad o el módulo del vector de velocidad.
  • Aceleración normal: Es aquella en la que el vector aceleración es normal a la trayectoria que describe el cuerpo. Nos indica como está cambiando de dirección el vector velocidad.

Y tened esto en cuenta, independientemente del sistema de referencia que uses, el vector aceleración es el mismo. Es como decir “dog” y “perro”, parecen distintos pero hablan del mismo animal. Lo único que ha cambiado es que antes conocíamos como cambiaba su velocidad en las direcciones horizontal y vertical y con este nuevo método conocemos como cambia el vector velocidad según la trayectoria que recorre nuestra hormiga.

Ahora que hemos visto posición, velocidad y aceleración vamos a terminar de poner el lazo con un pequeño resumen del movimiento lineal. Nos vemos en la siguiente entrada:)

 

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Describiendo el movimiento: Velocidad lineal

Hablar de la posición no está mal pero no cabe duda de que la velocidad mola mucho más. Si comprendimos bien en su momento el concepto de posición ahora el de velocidad no nos causará problemas. Al fin y al cabo, la velocidad es simplemente el cambio de posición en un intervalo de tiempo.

Esto del cambio en el tiempo os debe de sonar mucho de cuando hablamos de la importancia de entender el cambio ya que ahora debemos hacer lo mismo con una única diferencia. Ahora vamos a ver el cambio de un vector en lugar del cambio de un escalar. Supondré que ya con escalares os lo montáis bien así que no me detendré demasiado en pequeños detalles.

En fin, si hacéis memoria recordaréis de la última entrada que estábamos estudiando la posición de unas hormigas muy majas. En concreto la posición de la hormiga Lucía quedaba descrita por la función pos(t)=(t,t2). Veamos ahora a qué velocidad se mueve esta hormiga.

cambio de posición en el tiempo

Cambio de posición (3,9)-(1,1)=(2,8); Velocidad media (2,8)/Δt donde Δt es 3-1=2

Para hacerlo tendremos que ver cuánto ha cambiado su posición en un intervalo de tiempo. Por ejemplo, en el intervalo de tiempo entre los instantes t=3 y t=1 su posición pasa de ser (1,1) a (3,9) de manera que ha cambiado su posición en (2,8). Si fueran centímetros querría decir que se ha movido 2 cm a la derecha y 8 cm hacia arriba. Viendo ahora el tiempo que le ha llevado recorrer esa distancia podremos saber la velocidad media a la que lo ha recorrido. En este caso recorre esa distancia en 2 segundos así que su velocidad en la dirección horizontal ha sido 2cm/2seg=1cm/seg y en la dirección vertical ha sido 8cm/2seg=4cm/seg. Si tenéis dudas con los cálculos recordad que podéis mirar como funcionan las operaciones con vectores.

Ese método nos da la velocidad media a la que es recorrida ese tramo pero conformarse con eso sería muy triste. Vamos a por la velocidad instantánea. Pero para ello necesitaréis tener fresco en qué consiste ver la tasa de cambio de una función.

Para conocer la velocidad instantánea de nuestra hormiga vamos a comparar su cambio de posición en un intervalo de tiempo taaaaan pequeño que dejará de ser un intervalo, será un instante. Es decir, vamos a derivar la función que nos dice la posición de nuestra hormiga.

Recordemos que la posición de nuestra hormiga Lucía es pos(t)=(t,t2). Para derivar esta función pos(t) tendremos que derivar cada componente por separado, por un lado la posición en la horizontal que la llamaremos posx(t)=t y por el otro la posición vertical posy(t)=t2. Viéndolo así es sencillo derivar para obtener la velocidad instantánea. Los resultados serán velx(t)=1 y vely(t)=2t o lo que es lo mismo vel(t)=(1,2t).
Con esta nueva función vel(t)=(1,2t) podemos saber la velocidad exacta que tiene nuestra hormiga en cada instante. Esto nos da mucha más precisión que conocer la velocidad media a la que recorre un tramo en un intervalo de tiempo. Simplemente tendremos que sustituir en la función velocidad vel(t) que hemos creado. Por ejemplo para el instante t=3 nos da una velocidad de (1,6)cm/seg.

h

12+62=módulo2

Sin embargo cuando hablamos de velocidad nadie dice las componentes de esta. Normalmente al hablar de velocidad solemos hacer referencia al módulo del vector. Para la velocidad (1,6)cm/seg diríamos que se mueve a aproximadamente 6,1cm/seg. La manera de obtener ese número es el teorema de Pitágoras. En algunos libros de texto he encontrado que a este término lo llaman celeridad para así poder distinguirlo del vector velocidad.

Nos queda hablar de un último detalle para entender el movimiento de los cuerpos a grandes rasgos. Nos vemos en la siguiente entrada con la aceleración. La parte que considero más divertida del movimiento.

 

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Describiendo el movimiento: Posición lineal

Su posición el 23/8/2011 era Pittsburgh. A falta de cualquiera de los 2 datos su posición ya no está completamente definida.

Cuando pensamos en la posición de un tiranosaurio rex generalmente se nos viene a la cabeza el lugar en el espacio que ocupa, pero me temo que eso no es suficiente. Debemos pensar también el momento del tiempo en el que está. Por ejemplo si le decimos a un amigo -te veo en el bar y nos tomamos unas cervezas- y no le damos ningún dato más nuestro amigo tendrá un pequeño problema. ¿Cómo sabrá cuándo os veréis en el bar? Por otro lado si solo le dices –te veo mañana colega- una vez más tendrá problemas. ¿Cómo sabrá dónde os veréis?

En otras palabras, la definición completa sería que la posición es el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio en un instante de tiempo determinado. Para describir el lugar que ocupa necesitaremos usar un vector y para ver como ese lugar que ocupa cambia en el tiempo tendremos que expresarlo como una función dependiente del tiempo.

Como bien sabréis el espacio por el que nos movemos es tridimensional (arriba-abajo, derecha-izquierda y adelante-atrás) pero empezar viendo el movimiento en 3 dimensiones es un poco de locos. En su lugar empezaremos con el movimiento bidimensional que sería como ver una hormiga moviéndose por un folio. Podrá moverse por esa superficie pero no volar o excavar. Al restringir una de las dimensiones del movimiento su representación y visualización es mucho más sencilla.

Dicho todo esto empecemos con el desfile de hormigas.

sd

t=0->a=(3,0) t=1->b=(4,1) t=2->c=(5,2) t=3->d=(6,3) t=4->e=(7,4)

En primer lugar tenemos a la hormiga Ramona. Ella ha decidido pintarse las patas de verde de manera que podamos ver el rastro que ha deja al moverse por el folio.
Se ha movido en línea recta a un ritmo constante de manera que a cada momento que pasa su vector posición es distinto. Ahora tenemos que cumplir el objetivo que nos propusimos en un principio. Crear una función para el vector posición de manera que el movimiento de nuestra hormiga quede perfectamente descrito.

A la función la llamaremos pos por no escribir tantas veces “posición”. Ahora es cuestión de hacer pruebas a ver si conseguimos encontrar la función correcta. Hagamos unos pocos intentos:

  • pos(t)=(4t,1) Esta es nuestra primera candidata. Veamos si es verdad para cualquier instante de tiempo. En el segundo 1 parece que la cosa encaja ya que nos da el vector (4,1). ¿Pero qué tal encaja esta función el resto del tiempo? Para el instante 0 nos da el vector (0,1) y ahí no estaba la hormiga en el momento de iniciar su camino así que esta función no es correcta.
  • pos(t)=(t,t) A ver si con esta ya damos con la tecla. Si vemos el instante 0 obtenemos el vector (0,0), en el instante 1 el vector (1,1). Podría parecer que con este segundo intento estamos hasta peor ya que ningún punto de esta función coincide con el camino que ha seguido la hormiga pero si os fijáis ahora la coordenada vertical siempre coincide. Tendremos que hacer un cambio en la coordenada horizontal y lo tendremos listo.
  • pos(t)=(t+3,t) Esta sí que tiene buena pinta. En el instante t=0 encaja, igualmente lo hace en t=1 y también en todos los demás. En definitiva, hemos encontrado la función que describe el movimiento de nuestra hormiga.

n

Por otro lado tenemos a la hormiga Lucía de color rojo cuya posición queda descrita por pos(t)=(t,t2).
Igual que hicimos antes, si queremos saber su posición en algún momento determinado simplemente debemos sustituir en la función que describe su posición. Por ejemplo en el momento t=4 la posición de la hormiga es pos(t=4)=(4,16).

hormiga ana y luciaYa para terminar os enseñaré una última hormiga, se trata de la hormiga Ana y su posición queda descrita por pos(t)=(3t,9t2). Os enseño este caso porque ocurre una cosa muy curiosa. Resulta que Lucía y Ana siguen la misma trayectoria pero hay una diferencia. Si comprobáis la posición de ambas hormigas en el mismo instante de tiempo veréis que las posiciones son distintas. Por ejemplo en el instante de tiempo t=2 la hormiga Ana está en (6,36) mientras que la hormiga Lucía está aun en la posición (2,4). La diferencia entre el movimiento descrito por ambas hormigas es la velocidad a la que lo han recorrido.

Habiéndonos fijado en este pequeño detalle ahora estamos capacitados para profundizar en este nuevo concepto llamado velocidad que tanto nos gusta. ¡Nos vemos en la siguiente entrada!

 

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Vectores, números con dirección y sentido -Parte 3-

Espero que vengáis calentitos de la parte 2 porque ahora es cuando vienen las curvas. Con un poco de suerte al acabar podréis presumir de entender el producto escalar y vectorial.

Entenderlos no tiene misterio. Son así porque sí. Lo sé, no es una razón muy convincente pero simplemente los definimos con unas normas del mismo modo que un alfil solo se mueve en diagonal porque las reglas que creamos para jugar al ajedrez lo dictan. Sin embargo os puedo ayudar a entender por qué los definimos así con un poco de ayuda de la Física.

Ocurre lo siguiente, en física a veces necesitamos multiplicar unos escalares un poco particulares. La particularidad de estos escalares es que coinciden con las componentes de un vector, algo así como que su significado está incluido en el vector al que pertenece.

Para verlo con claridad haremos un ejemplo con el producto escalar y otro con el vectorial.

Producto escalar/Producto punto

El concepto energía ha sido objetivo de magufadas a lo largo de la historia incluyendo hoy día. Pero en física, ciencia que estudia el mundo que nos rodea, tenemos un concepto muy claro de lo que es la energía. Se puede dar de muchas formas distintas. Formas como energía cinética, potencial gravitatoria, potencial química y muchas más pero vamos a hacer hincapié en la primera.

La fuerza tangente al movimiento será la proyección del vector F sobre el vector d

Os pido que hagáis un acto de fe al creerme cuando digo que para calcular la energía cinética que adquiere un cuerpo empujado por una fuerza debemos multiplicar la fuerza tangente (Ftang) al movimiento que le hace aumentar su velocidad por la distancia recorrida (d) pero resulta que ambas magnitudes provienen de vectores. En concreto la fuerza tangencial proviene del vector fuerza (que incluye componente tangencial y normal al movimiento) y la distancia recorrida viene del vector posición. El por qué se calcula así la energía cinética adquirida lo explicaremos a su debido tiempo cuando indaguemos a fondo en el concepto “energía”.

En definitiva, tenemos la multiplicación de escalares Ftang·d pero molaría mucho más expresarlo en función de los vectores a los que pertenecen así que creamos lo que se llama producto escalar de manera que podamos afirmar F·d=Ftang·d. Por último solamente nos queda expresar cómo funciona el producto escalar para que esa afirmación sea correcta.

Ahí tenéis la proyección del vector A en el vector B. Ahora podríamos hacer la multiplicación de escalares Atang·B

Para entenderlo vamos a ver un caso general con los vectores A y B. Usando un poco de trigonometría podemos ver primero el valor de la proyección de A en B y después multiplicar Atang·B.

Igualmente podríamos haber proyectado B en A ya que el producto escalar es conmutativo de manera que A·B=Atang·B=B·A=Btang·A.

La forma más habitual de representar el producto escalar es con A·B=|A|·|B|cos(θ)

 

Con esto deberíais comprender qué es el producto punto/escalar y cómo funciona pero queda un detalle por decir. Hay una manera mucho más sencilla de calcularlo que es la que se suele enseñar en los institutos. Esta es A·B=(AX,AY)·(BX,BY)=AX·BX+AX·BY, sin embargo, además de que el por qué de esto no se explica resulta que esa operación no cuadra con ninguna de las ideas de proyectar que hemos explicado antes. ¿Cómo es posible que entonces siempre funcione? Resulta que tiene truco.

dd

El ángulo θ que forman ambos vectores es la resta de los ángulos de cada vector. Después dando caña a las identidades trigonométricas podemos llegar al clásico (AX,AY)·(BX,BY)=AX·BX+AX·BY

El desarrollo entero es un poco más largo pero me parece mucho más importante que entendamos de donde vienen las cosas a saber como desarrollar las identidades trigonométricas ese tipo de detalles.

Producto vectorial/Producto cruz

Tal y como decía uno de mis profesores de la universidad, “Las cosas que giran son un caos”. Quizás una afirmación un poco tremendista pero lo decía por un motivo, cuando hay cuerpos girando nuestra intuición comienza a fallar del mismo modo que a primera vista la velocidad de la luz nos parece infinita. Para superar nuestra intuición introdujimos la dinámica rotacional y si queremos manejarla hay que saber usar el producto vectorial.

Aviso, considero al producto vectorial ligeramente más complicado que el escalar pero si entendéis bien el primero este no se os debería resistir demasiado así que procurad llegar a este punto con las ideas más o menos claras.

Al  igual que hicimos con el producto escalar necesito que ahora simplemente creáis lo que digo ya que solo busco un ejemplo para que veáis el producto vectorial, ya veremos bien la dinámica rotacional en su momento. En fin, si queremos saber la fuerza que hace rotar un cuerpo (M) respecto a un punto necesitaremos multiplicar 2 escalares, la distancia (d) entre el punto de aplicación de la fuerza y el eje de giro por la componente de la fuerza que provoca el giro (Fnormal).

El que la Tierra sea un sistema de referencia no inercial ofrece estas chuladas de fotos.

Además el resultado de la multiplicación debe ser un vector ya que el eje de giro apunta en alguna dirección y cuando hablamos de direcciones ya sabemos qué toca. Por ejemplo el eje de giro de la Tierra tiene dirección, en concreto está alineado con la estrella polar. Es por eso que se puede usar para orientarse durante la noche ya que aunque la Tierra rote sobre sí misma la estrella polar aparenta estar en el mismo lugar del cielo.

Una vez más, ambos escalares que vamos a multiplicar provienen de vectores así que solo queda definir el producto vectorial/cruz de manera que se cumpla Fxd=Fnormal·d·n donde n es el vector unitario que indica la dirección del giro.

 

Con trigonometría podemos ver que para que se cumpla esa igualdad que dijimos debemos hacer Fxd=|F|·|d|·sin(θ)·n. La dirección de ese vector n lo metemos a mano, nunca mejor dicho. Para hacerlo debemos usar lo que se definió como regla de la mano derecha. No es más que un código para representar en qué sentido y dirección ocurren los giros. En el ejemplo de la imagen la dirección de giro queda representada por la dirección a la que apunta el pulgar y el sentido de giro lo véis enroscando a sobre b. Aquí el giro sería giro antihorario y el eje apunta en la dirección del pulgar.

A diferencia del producto escalar el producto vectorial no es conmutativo, es decir, AxBBxA. Si usáis de nuevo la regla de la mano derecha veréis que aunque la dirección del eje de giro(la recta que forma tu pulgar) es la misma, el sentido es el contrario(tu pulgar apunta en la otra dirección).

Y con esto termina mi introducción al funcionamiento de los vectores. Añadiendo esto a los resúmenes de cálculosistemas de referencia, trigonometría y ecuaciones creo que estamos preparados para estudiar el movimiento de una partícula. ¡Hasta la próxima!

 

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