Cálculo diferencial en un pliqui

Ahora que ya os he presentado los conceptos función, derivada e integral vamos a hacer un pequeño resumen de los 3 juntitos y dados de mano. Recordad que si algún término no lo termináis de ver claro podéis acudir a los anteriores enlaces dónde cada punto está más extendido. Venga no me enrollo más, ¡empezamos!

Entrada: ¿Función, cuánta agua hay en el segundo 4? Salida: Hay 32L

La función es un bichejo que al meterle una entrada la mastica y nos devuelve una respuesta como salida. Por ser un poco más matemáticos esa entrada que le damos es la preimagen y la respuesta de la función es la imagen. Siempre para una misma entrada nos dará la misma salida aunque puede ocurrir que pare 2 entradas distintas nos dé la misma salida.

Las funciones son muy útiles para describir fenómenos que ocurren a nuestro alrededor como puede ser la cantidad de agua en una piscina mientras esta se va llenando a lo largo del tiempo como ya hemos hecho en entradas anteriores. Por continuar con ese ejemplo vamos a rescatar una de las funciones que usamos para describir cómo se llenaba nuestra amada piscina. En concreto será L(t) = 2t2.

Una vez tenemos nuestra función bien definida resulta muy interesante conocer su tasa de cambio. Al estar estudiando la cantidad de agua en la piscina a lo largo del tiempo esta tasa de cambio será cómo cambia dicha cantidad de agua en el tiempo. O lo que es lo mismo, el caudal entrante o saliente de la piscina.

Nosotros que somos más chulos que un 8 vamos a ver la tasa de cambio instantánea que mola más que la tasa de cambio media y para conseguirlo comparamos cuánto se llena la piscina en intervalos de tiempo muy pequeños. Cuando digo muy pequeños me refiero a intervalos infinitamente pequeños. Usar algo infinitamente pequeño puede ser difícil pero la herramienta del límite nos ayudará. Aplicándolo a nuestra función L(t) = 2t2 nos quedará

derivada de la cantidad de agua en la piscina

L(t+Δt)-L(t) es lo que aumenta el agua en un intervalo de tiempo. Esto lo dividimos a su vez por dicho intervalo. Con el límite hacemos ese intervalo muy pequeño y el resultado es la cantidad de agua que entra por segundo en cada instante. A esa cantidad se le suele llamar caudal y a su función la llamaremos C(t)

Sin embargo nos puede ocurrir que lo único que sepamos sea el caudal y nuestro objetivo sea averiguar la cantidad de agua en la piscina. Para hacerlo tendremos que sumar lo que se llena la piscina en cada intervalo de tiempo como os dije aquí y además conocer la cantidad de agua que había inicialmente en la piscina. Resulta que para hacer esto no existe un procedimiento como con los límites así que quedan 2 opciones.

  1. dfgfdf

    La pendiente de L(t) en cada punto es el valor de C(t) en dicho punto. El área encerrada por C(t) + agua inicial en la piscina es el valor de L(t)

    Buscar en el baúl de los recuerdos. Derivar e integrar son procesos contrarios así que puedes dedicarte a mirar todas las funciones que has derivado en tu vida y después analizando los resultados puede que alguno se parezca a la función que quieres integrar así que como derivar e integrar son procesos contrarios puedes usar esa información para obtener el resultado de tu integral.

  2. Cuántos más pequeños sean los intervalos que tomemos más rectángulos tendremos y más precisión conseguiremos.

    Hacerlo a pelo. Ya explicamos que el área que encierra la función + la cantidad de agua inicial es lo que vale L(t) así que podemos calcular ese área, sumar el valor inicial y a volar. Cuando las funciones dan lugar a formas sencillas como cuadrados es un proceso muy fácil pero cuando la cosa se pone fea acudimos a ese aparato tan bonito llamado ordenador. Lo que hace es bastante sencillo. Parte la función en multitud de cuadrados muy finitos, suma sus áreas y te da la función. Como es evidente esta tarea no es ni divertida ni breve pero bueno como la hace un ordenador tampoco pasa nada.

 

Esto de comprimir tanto el cálculo que queda reducido a una entrada puede llegar a considerarse un insulto pero resulta ideal para comprender las bases y fundamentos en los que se basa además de su utilidad. Si tenéis un poco de idea de inglés os dejo un vídeo con más años que Carracuca pero me sigue pareciendo muy divertido y didáctico.

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