Describiendo el movimiento: Posición lineal

Su posición el 23/8/2011 era Pittsburgh. A falta de cualquiera de los 2 datos su posición ya no está completamente definida.

Cuando pensamos en la posición de un tiranosaurio rex generalmente se nos viene a la cabeza el lugar en el espacio que ocupa, pero me temo que eso no es suficiente. Debemos pensar también el momento del tiempo en el que está. Por ejemplo si le decimos a un amigo -te veo en el bar y nos tomamos unas cervezas- y no le damos ningún dato más nuestro amigo tendrá un pequeño problema. ¿Cómo sabrá cuándo os veréis en el bar? Por otro lado si solo le dices –te veo mañana colega- una vez más tendrá problemas. ¿Cómo sabrá dónde os veréis?

En otras palabras, la definición completa sería que la posición es el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio en un instante de tiempo determinado. Para describir el lugar que ocupa necesitaremos usar un vector y para ver como ese lugar que ocupa cambia en el tiempo tendremos que expresarlo como una función dependiente del tiempo.

Como bien sabréis el espacio por el que nos movemos es tridimensional (arriba-abajo, derecha-izquierda y adelante-atrás) pero empezar viendo el movimiento en 3 dimensiones es un poco de locos. En su lugar empezaremos con el movimiento bidimensional que sería como ver una hormiga moviéndose por un folio. Podrá moverse por esa superficie pero no volar o excavar. Al restringir una de las dimensiones del movimiento su representación y visualización es mucho más sencilla.

Dicho todo esto empecemos con el desfile de hormigas.

sd

t=0->a=(3,0) t=1->b=(4,1) t=2->c=(5,2) t=3->d=(6,3) t=4->e=(7,4)

En primer lugar tenemos a la hormiga Ramona. Ella ha decidido pintarse las patas de verde de manera que podamos ver el rastro que ha deja al moverse por el folio.
Se ha movido en línea recta a un ritmo constante de manera que a cada momento que pasa su vector posición es distinto. Ahora tenemos que cumplir el objetivo que nos propusimos en un principio. Crear una función para el vector posición de manera que el movimiento de nuestra hormiga quede perfectamente descrito.

A la función la llamaremos pos por no escribir tantas veces “posición”. Ahora es cuestión de hacer pruebas a ver si conseguimos encontrar la función correcta. Hagamos unos pocos intentos:

  • pos(t)=(4t,1) Esta es nuestra primera candidata. Veamos si es verdad para cualquier instante de tiempo. En el segundo 1 parece que la cosa encaja ya que nos da el vector (4,1). ¿Pero qué tal encaja esta función el resto del tiempo? Para el instante 0 nos da el vector (0,1) y ahí no estaba la hormiga en el momento de iniciar su camino así que esta función no es correcta.
  • pos(t)=(t,t) A ver si con esta ya damos con la tecla. Si vemos el instante 0 obtenemos el vector (0,0), en el instante 1 el vector (1,1). Podría parecer que con este segundo intento estamos hasta peor ya que ningún punto de esta función coincide con el camino que ha seguido la hormiga pero si os fijáis ahora la coordenada vertical siempre coincide. Tendremos que hacer un cambio en la coordenada horizontal y lo tendremos listo.
  • pos(t)=(t+3,t) Esta sí que tiene buena pinta. En el instante t=0 encaja, igualmente lo hace en t=1 y también en todos los demás. En definitiva, hemos encontrado la función que describe el movimiento de nuestra hormiga.

n

Por otro lado tenemos a la hormiga Lucía de color rojo cuya posición queda descrita por pos(t)=(t,t2).
Igual que hicimos antes, si queremos saber su posición en algún momento determinado simplemente debemos sustituir en la función que describe su posición. Por ejemplo en el momento t=4 la posición de la hormiga es pos(t=4)=(4,16).

hormiga ana y luciaYa para terminar os enseñaré una última hormiga, se trata de la hormiga Ana y su posición queda descrita por pos(t)=(3t,9t2). Os enseño este caso porque ocurre una cosa muy curiosa. Resulta que Lucía y Ana siguen la misma trayectoria pero hay una diferencia. Si comprobáis la posición de ambas hormigas en el mismo instante de tiempo veréis que las posiciones son distintas. Por ejemplo en el instante de tiempo t=2 la hormiga Ana está en (6,36) mientras que la hormiga Lucía está aun en la posición (2,4). La diferencia entre el movimiento descrito por ambas hormigas es la velocidad a la que lo han recorrido.

Habiéndonos fijado en este pequeño detalle ahora estamos capacitados para profundizar en este nuevo concepto llamado velocidad que tanto nos gusta. ¡Nos vemos en la siguiente entrada!

 

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