Describiendo el movimiento: Velocidad angular

Una vez vista la posición angular el paso natural es apuntar ahora a por la velocidad angular. Ya tenéis que saber de memoria cómo funciona esto de tanto que os he insistido a todo lo largo y ancho de este blog pero bueno, lo decimos una vez más porque es algo que debéis tener siempre en mente. Si la velocidad angular ω es el cambio de la posición angular θ respecto al tiempo, ¿cómo podemos saber la velocidad instantánea a partir de la posición instantánea? Derivando. Si os veis un poco perdidos con eso siempre podéis mirar entradas anteriores donde esto se explica con más detalle.

Un planeta y su satélite orbitando respecto a su centro de masas común.

Ahora vamos a poner un ejemplo visual que es como de verdad se comprenden bien estas chuladas.

La posición angular del planeta P será θP(t)=-1·t rad y la de su luna L será θL(t) = -1·t + π . Si ahora derivamos como dijimos antes encontraremos lo que ya intuimos a simple vista a partir de la imagen, la velocidad angular de ambos cuerpos es la misma y constante. Además debe ser negativa ya que se están moviendo en el sentido que consideramos negativo. Y efectivamente es el resultado al que llegamos tras derivar ya que lo que obtenemos es ωP(t)=-1 rad/s y ωL(t)=-1 rad/s. Por eso es esencial saber lo que uno está haciendo y no derivar a lo loco. Cuando se os olvide un signo y lleguéis a un resultado completamente absurdo, que os aseguro que nos pasa a todos y a mí con más frecuencia de la que me gustaría, seréis capaces de detectar que hay un error y corregirlo.

También hay otro punto al que debemos prestar atención. Vamos a hablar ahora de la relación entre velocidad angular y lineal. Fijaos en este detalle, la velocidad angular de ambos cuerpos es la misma (-1 rad/s) pero es evidente que el planeta recorre una distancia menor que su luna para un mismo intervalo de tiempo. La única explicación posible para eso es que su luna se esté moviendo más rápido que el planeta.

¿Pero entonces en qué quedamos? ¿Tienen la misma velocidad o no? Bueno depende de qué velocidad hablemos. Debéis ser capaces de diferenciar bien entre velocidad angular y lineal. En este caso su velocidad angular es la misma ya que como podéis ver recorren el mismo desplazamiento angular para un intervalo de tiempo, sin embargo, su velocidad lineal es distinta ya que la luna recorre más distancia para dicho intervalo. ¿Recordáis cuando en la entrada de la posición angular explicamos la relación entre ángulo recorrido θ y longitud del arco recorrido s (rθ = s)? Con la velocidad es prácticamente lo mismo. La velocidad angular ω a la que recorres un ángulo es proporcional a la velocidad lineal v a la que recorres el arco. En concreto esa proporción es rω = v donde esa velocidad v será, como explicamos en una entrada anterior, tangente a la trayectoria del cuerpo.

Espero que a estas alturas haya algún que otro lector con la mosca detrás de la oreja. Cuando hablamos de la velocidad lineal dejamos bien claro que era un vector y una propiedad de estos es que pueden cambiar tanto su tamaño como su dirección y si esto ocurre significa que el cuerpo que estudiamos está acelerando. En este caso hemos comprobado ya que el tamaño de ese vector velocidad es siempre el mismo ya que su celeridad no cambia, sin embargo no podemos decir lo mismo acerca de su dirección así que estos cuerpos deben tener una aceleración tal que le hace cambiar su dirección pero no su velocidad. Justamente una idea así la vimos hace unas pocas entradas cuando hablamos de la aceleración normal y para encontrar su valor solo necesitamos hacer unos pocos cálculos con vectores. Sin hacer demasiado hincapié os haré un pequeño resumen de estos cálculos para que veáis un ejemplo.

  • Vector velocidad: Para los cálculos necesitaremos la velocidad expresada en forma de vector. En este caso en el que un cuerpo rota de manera constante la velocidad expresada en forma de vector es v=rω(-sen(ωt),cos(ωt)) y su módulo es rω.
  • Cálculo de at y ac para un caso genérico

    Aceleración tangencial at: El cambio del módulo del vector velocidad en el tiempo d(|v|)/dt es nulo ya que es una constante así que la aceleración tangencial es igualmente nula como ya hemos visto antes.

  • Aceleración normal ac: Por último, el cambio de la dirección del vector velocidad d(v/|v|)/dt es el vector –ω(cos(ωt),sen(ωt)) así que la aceleración normal será ac=rω2(-cos(ωt),-sen(ωt)) cuya dirección cambia en el tiempo y su módulo es constante.

 

Esta es básicamente la aceleración que sufre un astronauta que orbita un planeta. En resumen, la aceleración tangencial cuando un cuerpo que rota a una velocidad angular constante es nula y la aceleración normal tiene un valor constante de 2=v2/r siempre apuntando al centro, de hecho, el vector de la aceleración normal siempre apunta a lo que se denomina centro de curvatura y de ahí el subíndice c en ac pero solo en el caso de un movimiento circular uniforme tiene un módulo constante.

Y con esta pequeña base creo que podemos dar por vista la velocidad angular. Poquito a poco estamos a punto de dejar el movimiento rotacional casi listo. Nos vemos en la siguiente entrada con la aceleración angular.

 

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