La importancia de comprender el cambio -Parte 2-

En la parte 1 nos quedamos en que para la función L(t)=2tno solo la cantidad de agua en la piscina cambiaba sino que además la velocidad a la que aumentaba el agua también cambiaba. Ahora el reto está en encontrar la función que para cada instante de tiempo nos dice a qué velocidad se está llenando la piscina.

Ya dejamos claro que la velocidad media a la que se llena la piscina entre 2 instantes de tiempo era cuanto se había llenado dividido por el tiempo que le había llevado hacerlo y para esta función según que 2 puntos comparemos obtendremos una velocidad u otra. Pero saber la velocidad media a la que se llena en un intervalo de tiempo no mola tanto como saber la velocidad exacta a la que se llena en cada instante de tiempo. Para conseguir esa velocidad aplicaremos ese mismo concepto a un intervalo de tiempo tan pequeño que prácticamente deje de ser un intervalo de tiempo y pase a ser un punto, es decir, un instante de tiempo.

La recta que uniría ambos puntos tendría una pendiente de 16.002L por cada segundo avanzado

La recta que uniría ambos puntos tendría una pendiente de 16.002L por cada segundo avanzado

Digamos que quiero saber la velocidad a la que se llenaba en el segundo 4. Simplemente tendré que tomar un intervalo muy pequeño y hacer el cálculo. El resultado lo podéis ver en la imagen.

Sin embargo los más avispados estaréis pensando -Eh un momento… eso sigue siendo un intervalo de tiempo. Es pequeñito pero sigue siendo un intervalo. Concretamente de 0.001s- y lleváis toda la razón así que vamos a usar el intervalo de tiempo más pequeño posible. Para poder hacerlo voy a presentaros a un nuevo operador matemático, se llama Límite y se encarga de hacer las cosas muy cercanas a algo, vamos que las deja al límite. Viendo la definición queda claro que no se calentaron mucho la cabeza con el nombre.

Ahora que tenemos este nuevo amigo a nuestro favor vamos a intentar averiguar la velocidad a la que se está llenando la piscina en el segundo 4

me cago en la puta

Ahora el que intervalo de tiempo Δt es infinitamente pequeño podemos decir que la pendiente de la recta que une esos 2 puntos infinitamente próximos es 16L llenados por cada segundo avanzado. Matemáticamente se leería: El incremento de agua en la piscina en el intervalo de tiempo infinitamente pequeño entre el seg 4 y el siguiente instante [ L(t=4+ Δt)-L(t=4) ] dividido por dicho intervalo de tiempo en el que ocurre [ Δt ]

Esta sí que es la velocidad instantánea a la que se llena la piscina, pero esa velocidad es solo válida para el segundo 4 y nos propusimos como objetivo obtener una función que nos diera la velocidad a la que se llena en cada instante de tiempo así que si hemos podido calcularlo para el segundo 4 nada nos impide hacerlo para cualquier otro momento.

Lo que haremos será dejarlo en función del tiempo en lugar de calcularlo para un instante concreto. Aunque esto sea más abstracto que lo que hemos hecho antes lo cierto es que es más fácil.

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Puede que las letras os líen pero si habéis entendido lo de arriba os aseguro que también entendéis esto perfectamente. Al fin y al cabo seguimos mirando en la gráfica lo que sube la función en el tramo que avanza sólo que ahora lo hacemos para un punto genérico.

Y eso queridos amigos es la función que os describe la velocidad a la que se llena la piscina en cada punto. A esa velocidad de llenado se le suele llamar caudal de agua así que a la función la bautizaremos como C de manera que quedará C(t)=4t y podéis comprobar que si calculáis el caudal en el segundo 4 os dará el resultado que antes conseguimos de 16L/s.

A esto de mirar la tasa de cambio instantánea de una función le solemos llamar derivar aunque a mi me gusta más decir tasa de cambio porque hay más de uno por ahí que cuando deriva una función simplemente hace los cálculos y pierde la perspectiva de lo que está haciendo.

Pues con esto y un bizcocho os habéis iniciado en el cálculo difirencialocho. Está claro que se me dan mejor las mates que las rimas pero para que no podáis pensar mucho en eso os dejo con la siguiente pregunta. Si sabéis el caudal que entra en la piscina,¿podéis saber cuánta agua hay en ella? ¡Descubridlo en la siguiente entrada!

 

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