La importancia de comprender el cambio -Parte 1-

En Cuando las ecuaciones aspiran a algo más os prometí que ahora que habíamos visto en que consiste una función ya estábamos preparados para estudiar cómo cambia. Para asimilarlo bien vamos a poner un ejemplo que es como más fácil entran estas cosas.

Dan ganas de bañarse nada más que de mirarla.

Pensad que queréis llenar una piscina. Para hacerlo con mucho estilo cogéis la chorrimanguera de Loulogio y simplemente empezáis a echar agua dentro. Resulta que gracias a unas marcas que tiene la piscina siempre podemos saber cuánto volumen de agua tiene ya dentro así que cogemos y representamos eso con una función matemática que nos diga la cantidad de agua en cada momento, en concreto en nuestro ejemplo diremos que esa función es L(t) = 1,45t.

Para hacernos mejor a la idea de qué significa esto vamos a calcular la cantidad de agua en la piscina para unos cuantos instantes de tiempo y además lo vamos a representar gráficamente.

grafica y tablaVemos entonces que, como era de esperar, la cantidad de agua total en la piscina va aumentando. Pero ahora nos surge una duda, ¿a qué velocidad aumenta? Para saberlo basta con usar la lógica. Tendremos que ver cuanto se llena la piscina en un intervalo de tiempo. De momento escojamos el intervalo entre el segundo 1 y el segundo 0. En el segundo 1 hay 1,45L mientras que en el 0 hay 0L. La cantidad de agua ha aumentado 1,45L en 1 segundo así que es evidente que la velocidad a la que se llena debe de ser 1,45L/s.

llenado de piscina

Cantidad de agua en la piscina en un intervalo de tiempo dividido por dicho intervalo.

Esto que es algo que nuestro cerebro hace automáticamente y expresado de forma matemática sería como queda en la ecuación a la derecha. Lo mismo podríamos hacer con 2 puntos cualesquiera de nuestra función recta pero una propiedad curiosa de las rectas es que siempre obtendréis el mismo resultado sin importar que 2 puntos comparéis. El motivo de esto lo entenderéis si mirando la gráfica leéis la operación como lo que sube la función por cada unidad avanzada o dicho de otro modo, la pendiente. Viéndolo así es evidente que una recta tiene siempre la misma pendiente ya que en caso contrario no sería una recta. Pero, ¿y si la función que describe el agua en la piscina no fuera una recta? Algo como L(t) = 2t2. Esto es una parábola y se ve así.

La manguera debe estar echando el agua cada vez más rápido porque la cantidad de agua crece a mayor velocidad conforme pasa el tiempo.

La manguera debe estar echando el agua cada vez más rápido porque la cantidad de agua crece a mayor velocidad conforme pasa el tiempo.

Ahora vemos que el intervalo entre 1s y 0s el agua aumenta 2L, es decir, a 2L/s mientras que en el intervalo 2s y 0s aumenta 8L de manera que la velocidad es 4L/s. A diferencia de lo que ocurría en la recta según que 2 puntos comparemos obtendremos una pendiente o tasa de cambio distinta.

Tras darle un poco de vueltas al coco llegamos a la siguiente conclusión. No solo la cantidad de agua en la piscina depende del tiempo sino que además la velocidad a la que se llena también. Entonces si tenemos una función que para cada instante de tiempo nos dice la cantidad de agua en la piscina, ¿habrá otra que nos diga a que velocidad se está llenando en cada instante?

Lo cierto es que sí. Pero os dejaré con la curiosidad hasta la siguiente entrada😉

 

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