Vectores, números con dirección y sentido -Parte 2-

Tal y como os dije al final de la primera parte ahora es el momento de ver cómo se comportan los vectores cuando operamos con ellos.

Primero veremos las 2 operaciones básicas que se pueden hacer con un vector.

  • Multiplicación por un escalar
  • Suma de vectores
-1.5(10,20)=(-15,-30)

-1.5(10,20)=(-15,-30)

Cuando multiplicamos un vector por un escalar decimos que lo “escalamos”. La primera vez que lo escuché siendo pequeño me imaginé un hombre trepando por el vector pero evidentemente estaba equivocado. Se dice escalar el vector porque el resultado de la multiplicación es el mismo vector a escala, esto significa que no cambia la dirección del vector, únicamente puede cambiar el tamaño y el sentido. Si por ejemplo multiplicamos por -2 nos dará un vector con la misma dirección, el doble de largo y en el sentido contrario.

Quizá os puede salir la duda de cómo dividir vectores por un escalar. Lo cierto es que ya sabéis hacerlo. Debéis tener en mente que el dividir y multiplicar por una fracción o número no entero es exactamente lo mismo que dividir. Por ejemplo multiplicar por 0.5 es lo mismo que dividir entre 2.

 

Antes de empezar con la suma de vectores vamos a hacer una pequeña observación. Si hemos hablado de la multiplicación escalar x vector, ¿qué pasa con la suma escalar + vector? Pues que está totalmente prohibida. Casi tanto como dividir por 0 o quitarle a alguien el último trozo de pizza que estaba reservando para después de terminar el refresco. El motivo de esta prohibición es el mismo que nos impide sumar naranjas con peras. Si sumo 2 naranjas con 3 peras el resultado será de nuevo 2 naranjas y 3 peras. Multiplicar es otro cantar ya que si voy a 30 km/h y multiplico por 1 hora habré recorrido 30 km. Es evidente que el segundo resultado tiene sentido mientras que el primero no vale para nada. Tras este apunte volvamos al barro.

u+w=v u=(10,20) w=(-2,-10) v=(8,10)

u+w=v

La suma de vectores es de lo más intuitiva. Tan sencillo que sumar las componentes por separado, es decir, horizontales con horizontales y verticales con verticales. Esto se puede hacer gráficamente dibujando primero un vector y donde éste termine dibujamos el otro a continuación. La suma tiene la propiedad conmutativa así que da igual cuál de los 2 vectores dibujemos primero, al final llegaremos al mismo resultado. De hecho si lo hacéis de las 2 maneras obtendréis un paralelogramo. Tal y como ocurría antes no debéis dudar con como hacer la resta de vectores puesto que será igual a la suma de vectores negativos.

(10,20)-(2,10)=(10,20)+(-2,-10)=(10-2,20-10)=(8,10)

Dicho de otro modo u+w=v donde el valor de cada vector es u=(10,20) w=(-2,-10) v=(8,10)

 

Debemos estar orgullosos de lo aprendido hasta aquí pero resulta que la multiplicación escalar x vector y la suma vector + vector son las operaciones más básicas que podemos hacer con vectores y entenderlas es fundamental, sin embargo hay otras 2 operaciones que se pueden hacer con vectores y son un poco más liosas. A pesar de ser más complejas debemos comprenderlas bien ya que la física sin ellas no sería lo mismo. Me refiero al producto escalar y vectorial.

Son tan importantes que sin el primero no podríamos hablar en detalle de la energía y sin el segundo nos constaría un dolor de cabeza discutir sobre la dinámica rotacional.

Me da la sensación de que meteros más tralla en esta entrada sería cruel así que mejor vamos a seguir en a la tercera parte esta serie.

 

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Vectores, números con dirección y sentido -Parte 1-

Los números con los que estamos acostumbrados a tratar son los llamados escalares. Son los de toda la vida, los de “contar”. Por ejemplo valen para decir que tienes 1 casa, 2 sofás, 8 gatos y 1 problema con los animales. Sin embargo hay veces que necesitamos algo más que simplemente contar. Al hablar de la velocidad de un coche no creo que tengáis bastante si os digo que va a 100 km/h, estoy convencido que además querríais que os dijera si va hacia vosotros o a comprar pan. Esta necesidad de conocer sentidos y direcciones al hablar de un número es lo que da lugar a los vectores.

Antes de empezar no estaría de más tener una idea previa de lo qué es el espacio ya que los vectores se hicieron para revolotear y dar vueltas por él.

Lo primero es decir qué es un vector. Es la unión de 3 conceptos en uno solo. Estos conceptos son módulo, dirección y sentido. Para ver qué significan vamos a machacar el concepto vector posición que como habréis deducido por el nombre, nos marca la posición de un punto. A mí no me miréis que los nombres simplones ya estaban puestos cuando llegué.

Pudiendo usar las 3 dimensiones ya podemos ir a cualquier punto que queramos.

Pudiendo usar las 3 dimensiones ya podemos ir a cualquier punto que queramos.

Nuestro espacio es tridimensional (3D) así que para determinar la posición de algo necesitaremos 3 medidas. Esas 3 medidas dependen de en qué coordenadas trabajemos. Podrían ser coordenadas polares, cilíndricas o cualquier otra pero por no liar la perdiz vamos a trabajar con las cartesianas que son las más apañás y las que considero más intuitivas. Además son las que normalmente se enseñan en el colegio durante los cursos básicos así que igual ya os suenan.

Combinando movimientos en 3 direcciones independientes podemos alcanzar cualquier punto del espacio pero para ir poco a poco primero vamos a trabajar únicamente con una dimensión de manera que estamos en la clásica recta. Para definir la posición de algo en la recta primero colocamos nuestro punto de referencia y después no necesitamos más que el sentido y el módulo ya que la dirección tan solo puede ser la única que tenemos disponible, es decir, la de nuestra recta.

Ambas pelotas están en la misma dirección pero en distintos sentidos.

Con el módulo(distancia) y el sentido(derecha o izquierda) podemos conocer la posición de las pelotas ya que la dirección queda ya restringida por la recta. Serían -30 y 50 respectivamente.

Cuando estamos trabajando con una sola dimensión podemos llegar a confundir los escalares con estos vectores de 1D pero debéis recordar que los escalares son números a palo seco mientras que los vectores son números con una dirección y sentido asociados.

(40 , 30) = (50cos 36.9º,50sen 36.9º)

(40 , 30) = (50cos 36.9º,50sen 36.9º)

Definir vectores es 2 dimensiones (2D) es el primer paso para entender profundamente los vectores ya que es el momento en el que empezamos a separarnos notablemente de los escalares. En nuestras coordenadas cartesianas diremos que nuestro círculo está ahora 40m en la dirección horizontal y sentido positivo y a 30m en la dirección vertical y sentido positivo. Supongo que habréis notado que es un peñazo describirlo de esa forma así que inventaron la notación (40,30). Si por ejemplo quisierais saber el módulo o tamaño del vector podríais usar el teorema de Pitágoras y averiguarlo en un momento. Además con conceptos básicos de trigonometría también podréis expresar su posición en función de este módulo y el ángulo que forma dando lugar a (50·cos 36.9º,50·sen 36.9º).

Ahora que hemos representado un vector en 2D el hecho de hacerlo en 3D no supone ningún reto. Únicamente es un poco más lioso porque tenemos una dimensión más para jugar pero todos los principios son los mismos.

Una vez aprendido el concepto vector y cómo representarlo el paso natural es aprender cómo operar con ellos ya que las reglas son ligeramente distintas a como lo hacemos con escalares pero eso lo veremos en la siguiente entrada.

 

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Triángulo, nuestro aliado en combate -Parte 2-

Ahí tenéis hipotenusas para 60º y 160º. O lo que es lo mismo -300º y -200º respectivamente.

Ahí tenéis hipotenusas para 53.13º y 126.87º. O lo que es lo mismo -306.87º y -233.13º respectivamente.

Una vez asentado lo más básico de los triángulos vamos a entrar en materia con la trigonometría. La trigonometría se dedica al estudio de las relaciones entre lados y ángulos de los triángulos rectángulos. Para hacerlo solamente necesitamos un dato del triángulo, la dirección de la hipotenusa. Esta dirección de la hipotenusa no es más que el ángulo que forma con lo que consideramos ángulo 0º. Por otro lado el tamaño del propio triángulo no importa ya que sea más grande o pequeño no hará variar las proporciones entre los lados y ángulos de éste. Es como cuando hacemos una tortilla de patatas, seamos 5 o 7 mantendremos la proporción de ingredientes para que la tortilla quepa a 3 huevos por persona.

No he podido evitar poner esta chulada. Ideal si alguien no termina de ver qué demonios es un radián.

Al hablar del ángulo de la hipotenusa hay que tener los siguientes datos en cuenta. Primero, como con todas las medidas podemos usar multitud de unidades para referirnos a ella pero las más típicas son los grados y radianes. Lo siguiente es saber si el ángulo es positivo o negativo. Si partiendo de lo que consideramos el ángulo 0º giramos en sentido antihorario entonces estamos girando en sentido positivo generando así ángulos positivos. Si por el contrario lo hacemos al revés y giramos en sentido horario los ángulos, tal y como habréis supuesto, serán negativos. Esto no es más que un criterio igual que considerar que ir hacia arriba es positivo y hacia abajo negativo.

Como la trigonometría era algo nuevo tuvieron que hacer palabras nuevas para ella de manera que al hablar de un triángulo podemos hablar de su coseno, tangente, seno(guiño guiño) y muchas cosas más. Pero claro para hablar de todas esas cosas primero hay que ver qué significan.

  • SENO: Es el cateto opuesto al ángulo dividido entre la hipotenusa. Un error habitual es pensar que el seno es el cateto vertical entre la hipotenusa y cada vez que se cae en eso muere un gatito. Para verlo pensad que si los ejes de referencia están girados un poco respecto a la horizontal los catetos dejarán de ser horizontales y verticales. El seno podéis entenderlo como la cantidad de metros de cateto opuesto al ángulo por cada metro de hipotenusa.
  • COSENO: Primo cercano del seno, ahora es el cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa. Igual que antes podemos visualizarlo como cuantos metros de cateto contiguo hay por cada metro de hipotenusa.
  • TANGENTE: Ahora miramos la proporción entre el cateto opuesto y el contiguo. Si son horizontales y verticales será como ver metros ascendidos por cada metro avanzado, es decir, la pendiente de la hipotenusa y como bien sabréis para conocer la pendiente debemos dividir lo que sube(cateto opuesto) por lo que avanza(cateto contiguo).

Por supuesto hay muchas más relaciones que dan lugar a más nombres chulos como secante y cosecante pero os aseguro que teniendo claras esas tres vais que os matáis ya. Para asegurarme de que hemos entendido todo esto vamos a ver un ejemplo.

Son 2 triángulos proporcionales así que sus ángulos no cambian.

Son 2 triángulos proporcionales así que sus ángulos no cambian.

En nuestro triángulo pequeño tendremos que su seno es 3/5 y su coseno 4/5. Por último su tangente es 3/4. Si hacemos lo mismo con el grande obtendremos que su seno es 6/10=3/5, su coseno es 8/10=4/5 y su tangente 6/8=3/4.

Aquí podéis apreciar que el valor de senos, cosenos, etc no depende del tamaño de los triángulos. Tan solo depende del ángulo de la hipotenusa de modo que al hablar de ellos solemos escribirlo como sen(36,87º)=3/5 ó cos(36,87º)=4/5 e igual para tangentes y todos los demás operadores trigonométricos.

El tener una calculadora a mano que te resuelve estas operaciones para cualquier ángulo sin problemas es una alegría porque ahora simplemente conociendo el módulo de la hipotenusa y su ángulo podéis acceder fácilmente a todos los secretos de ese triángulo. Por ejemplo, conocer sus catetos a partir de estos datos:

Cateto contiguo=5cos(36,87º)=4        Cateto opuesto=5sen(36,87º)=3

Una vez vista la trigonometría se nos abre una nueva forma de describir los vectores pero eso lo veremos donde toca. Por hoy os dejo descansar;)

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Triángulo, nuestro aliado en combate -Parte 1-

El entendimiento de los triángulos es vital en física. Puede llegar a costar un poco hacerlo pero la recompensa es tremenda ya que los vais a ver hasta en la sopa. Se usan en lugares tan distintos como en el estudio del movimiento de un objeto como para ver el desfase entre voltaje e intensidad cuando trabajamos en corriente alterna.

Al hablar de geometría hay que tener en cuenta sobre qué superficie estamos. Esto simplemente significa saber que curvatura tiene el papel que pintas. No es lo mismo pintar un triángulo sobre una esfera que sobre un folio plano. Nosotros lo haremos sobre un folio plano, también conocido como geometría euclídea que es la que hay que tener clara para acceder a la física clásica.

Tras este detalle vamos a ver los puntos clave de los triángulos.

  1. El ángulo desconocido debe ser 36.87º para que sumen 180º

    El ángulo desconocido debe ser 36.87º para que sumen 180º

    Sus ángulos interiores suman 180º. El tener esto claro te puede sacar de más de un apuro. La gracia está en que esto lo cumplen TODOS los triángulos así que cuando tengas que estudiar uno siempre puedes recurrir a este hecho para sacarte una ecuación extra de la manga y así poder conocer datos del triángulo que no te habían dado en un principio. Para que quede claro, si sabéis 2 ángulos entonces tenéis acceso directo al tercero.

  2. De nuevo cada triángulo debe sumar 180º así que podemos conocer todos sus ángulos

    De nuevo cada triángulo debe sumar 180º así que podemos conocer todos sus ángulos

    Se pueden dividir en triángulos rectángulos. En la escuela nos hacen estudiar bastantes tipos distintos de triángulos, cada uno con sus propiedades e historias pero lo cierto es que no es del todo útil. Lo mejor es entender bien el triángulo rectángulo que es el que al final se usa, además como podemos dividir los otros en triángulos rectángulos sabiendo bien este nos los sabemos todos. Su propiedad principal es que uno de sus ángulos es 90º, es decir, un ángulo es recto.

  3. El área del cuadrado azul es la suma del área de los cuadrados amarillos.

    Se cumple el teorema de Pitágoras. Este teorema es válido para los triángulos rectángulos y marca una relación entre la hipotenusa(lado más largo) y los catetos(lados más cortos). Dicha relación es c2=a2+b2. Es por esto que le damos especial importancia a los triángulos rectángulos. A menudo al dividir un triángulo cualquiera en 2 triángulos rectángulos obtenemos ecuaciones extra que nos pueden ayudar a obtener datos de nuestro triángulo original. Asimilidad bien esto del teorema de Pitágoras porque os aseguro que os va a acompañar el resto de vuestra vida, en cuanto empecemos a estudiar el movimiento de los cuerpos entenderéis bien a que me refiero

  4. La trigonometría se hizo para ellos y es la leche. Hace ya tiempo se dieron cuenta de que los triángulos son tan importantes que les hicieron una rama de la Matemática solo para ellos. Este último punto tiene más miga así que como esto ya está quedando largo para ver el resto tendrás que ir a la -Parte 2-

 

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“Esto salta al otro miembro sumando” y otros mitos del colegio

Terminamos la entrada de los Albañiles matemáticos con la pregunta, ¿qué pasa si no conocemos todos los números que participan en la operación? Pues que lo que tienes delante es una ecuación.

En el colegio aprendí a hacer ecuaciones a base de hacer malabares. Esto salta al otro miembro sumando, esto dividiendo etc. Al cabo de un rato llegabas a la solución correcta, lo cual estaba genial para aprobar el examen. Pero aquí estamos por algo mucho más importante que aprobar exámenes. Estamos por el placer de aprender así que vamos a hablar en que se fundamenta ese método que nos enseñaron.

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El miembro formado por 3 veces ese número desconocido “a” menos 8 es igual al miembro 22

Primero tenemos que dejar claro qué es una ecuación. Una ecuación es básicamente una afirmación que nos dice que 2 miembros son iguales. El problema llega cuando nos enteramos de que en un inicio no conocemos todos los componentes de cada miembro, es decir, hay incógnitas. Como no conocemos el valor numérico de estas incógnitas no podemos escribir un número así que una buena opción sería pintar perros con alas para representarlas. Esta opción no está muy aceptada así que usaré la notación habitual de representar las incógnitas con letras.

A partir de ahí al afrontar una ecuación nos podemos encontrar con 3 escenarios

  • Averiguamos el valor de las incógnitas que no conocemos y lo celebramos levantando el puño
  • Averiguamos que la igualdad que nos dice la ecuación es falsa (y la haremos pagar por ello…)
  • Resulta que hay infinitos valores para las incógnitas que hacen que se cumpla la igualdad.

Sea como sea llegar a cualquiera de esos puntos requiere haber resulto primero la ecuación. Hay muchísimos métodos de hacerlo pero todos se basan en el mismo principio. Las ecuaciones equivalentes. 

El truco es bastante sencillo, partimos de la afirmación de que ambos miembros son iguales de manera que si hacemos lo mismo a ambos miembros, la afirmación de que los 2 son iguales seguirá estando en pie. Al hacer esto sucesivamente llegaremos a la ecuación más sencilla posible que es aquella que nos dice el valor de la incógnita.

Si el +4-4 lo obviamos porque da 0 podría parecer que tal y como nos dijeron en la escuela el número 4 ha saltado al otro miembro con el signo cambiado. Ahora conocéis la verdad.

Si el +4-4 lo obviamos porque da 0 podría parecer que tal y como nos dijeron en la escuela el número 4 ha saltado al otro miembro con el signo cambiado. Ahora conocéis la verdad, al igual que los elefantes, los números no saltan.

Esta vez hemos encontrado el valor de la incógnita así que espero que estéis leyendo esto con el puño levantado. Pero no siempre será tan bonito. Ahora vamos a ver los otros 2 casos que se pueden dar al resolver una ecuación.

El signo igual nos está mintiendo como un villano. ¡A la hoguera con él!

El signo igual nos está mintiendo como un bellaco. ¡A la hoguera con él!

Si te encuentras esto en un examen ándate con ojo que te la están intentando colar. Si aplicáis el método de las ecuaciones equivalentes veréis que la ecuación os está timando ya que nos asegura que 2=0. Esto evidentemente no es cierto así que podemos afirmar que esa ecuación no se cumple para ningún valor que pueda tomar nuestra incógnita c. Cuando ocurre esto yo suelo tachar la ecuación para dejarle claro que no le conviene intentar jugársela al jefe.

Podéis ir asignando infinitos valores a d y m para que se cumpla la ecuación.

Podéis ir asignando infinitos valores a d y m para que se cumpla la ecuación.

Por último queda el caso que considero más interesante, cuando hay una infinita cantidad de soluciones para nuestra ecuación. Pero de momento os dejo solo con esta imagen. Si quieres ver  el resto del pastel tendrás que venir aquí.

 

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Cálculo diferencial en un pliqui

Ahora que ya os he presentado los conceptos función, derivada e integral vamos a hacer un pequeño resumen de los 3 juntitos y dados de mano. Recordad que si algún término no lo termináis de ver claro podéis acudir a los anteriores enlaces dónde cada punto está más extendido. Venga no me enrollo más, ¡empezamos!

Entrada: ¿Función, cuánta agua hay en el segundo 4? Salida: Hay 32L

La función es un bichejo que al meterle una entrada la mastica y nos devuelve una respuesta como salida. Por ser un poco más matemáticos esa entrada que le damos es la preimagen y la respuesta de la función es la imagen. Siempre para una misma entrada nos dará la misma salida aunque puede ocurrir que pare 2 entradas distintas nos dé la misma salida.

Las funciones son muy útiles para describir fenómenos que ocurren a nuestro alrededor como puede ser la cantidad de agua en una piscina mientras esta se va llenando a lo largo del tiempo como ya hemos hecho en entradas anteriores. Por continuar con ese ejemplo vamos a rescatar una de las funciones que usamos para describir cómo se llenaba nuestra amada piscina. En concreto será L(t) = 2t2.

Una vez tenemos nuestra función bien definida resulta muy interesante conocer su tasa de cambio. Al estar estudiando la cantidad de agua en la piscina a lo largo del tiempo esta tasa de cambio será cómo cambia dicha cantidad de agua en el tiempo. O lo que es lo mismo, el caudal entrante o saliente de la piscina.

Nosotros que somos más chulos que un 8 vamos a ver la tasa de cambio instantánea que mola más que la tasa de cambio media y para conseguirlo comparamos cuánto se llena la piscina en intervalos de tiempo muy pequeños. Cuando digo muy pequeños me refiero a intervalos infinitamente pequeños. Usar algo infinitamente pequeño puede ser difícil pero la herramienta del límite nos ayudará. Aplicándolo a nuestra función L(t) = 2t2 nos quedará

derivada de la cantidad de agua en la piscina

L(t+Δt)-L(t) es lo que aumenta el agua en un intervalo de tiempo. Esto lo dividimos a su vez por dicho intervalo. Con el límite hacemos ese intervalo muy pequeño y el resultado es la cantidad de agua que entra por segundo en cada instante. A esa cantidad se le suele llamar caudal y a su función la llamaremos C(t)

Sin embargo nos puede ocurrir que lo único que sepamos sea el caudal y nuestro objetivo sea averiguar la cantidad de agua en la piscina. Para hacerlo tendremos que sumar lo que se llena la piscina en cada intervalo de tiempo como os dije aquí y además conocer la cantidad de agua que había inicialmente en la piscina. Resulta que para hacer esto no existe un procedimiento como con los límites así que quedan 2 opciones.

  1. dfgfdf

    La pendiente de L(t) en cada punto es el valor de C(t) en dicho punto. El área encerrada por C(t) + agua inicial en la piscina es el valor de L(t)

    Buscar en el baúl de los recuerdos. Derivar e integrar son procesos contrarios así que puedes dedicarte a mirar todas las funciones que has derivado en tu vida y después analizando los resultados puede que alguno se parezca a la función que quieres integrar así que como derivar e integrar son procesos contrarios puedes usar esa información para obtener el resultado de tu integral.

  2. Cuántos más pequeños sean los intervalos que tomemos más rectángulos tendremos y más precisión conseguiremos.

    Hacerlo a pelo. Ya explicamos que el área que encierra la función + la cantidad de agua inicial es lo que vale L(t) así que podemos calcular ese área, sumar el valor inicial y a volar. Cuando las funciones dan lugar a formas sencillas como cuadrados es un proceso muy fácil pero cuando la cosa se pone fea acudimos a ese aparato tan bonito llamado ordenador. Lo que hace es bastante sencillo. Parte la función en multitud de cuadrados muy finitos, suma sus áreas y te da la función. Como es evidente esta tarea no es ni divertida ni breve pero bueno como la hace un ordenador tampoco pasa nada.

 

Esto de comprimir tanto el cálculo que queda reducido a una entrada puede llegar a considerarse un insulto pero resulta ideal para comprender las bases y fundamentos en los que se basa además de su utilidad. Si tenéis un poco de idea de inglés os dejo un vídeo con más años que Carracuca pero me sigue pareciendo muy divertido y didáctico.

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Ventajas de entender el cambio

Al final le vamos a coger manía a la piscina esta de tanto pensar en ella.

En la entrada anterior descubrimos qué es eso de la tasa de cambio de una función con el ejemplo de nuestra querida piscina y al final os dejé con esta pregunta. Si conoces el caudal que entra en la piscina, ¿puedes conocer la cantidad de agua que hay dentro?

Saber la respuesta a esto es de vital importancia porque llenar una piscina lleva una cantidad de tiempo brutal y sería un pelotazo tener que quedarte a mirar como se llena poco a poco para asegurarte que no se desborda ni pasa nada. Lo ideal sería encender el grifo y saber cuánto tardará en llenarse. Entonces podríamos ir a tomarnos unas cañas y volver a tiempo para cerrar el grifo. Hagamos como siempre y vamos a verlo con un ejemplo.

Si os fijáis veréis que el área bajo la curva será la altura en L/s multiplicado por tiempo en s quedando el resultado en litros. ¡Señores que el área bajo ella es la cantidad de agua!

Si os fijáis veréis que el área bajo la curva será la altura en L/s multiplicado por tiempo en s quedando el resultado en litros. ¡Señores que el área bajo ella es la cantidad de agua!

Digamos que nuestro grifo nos da un caudal constante de 1.45L/s de manera que la función del caudal será C(t)=1.45

Para saber la cantidad de agua en la piscina tendremos que sumar lo se que llena en cada intervalo de tiempo. Si pasa 1 segundo habrá 1.45L más de agua, si pasan 2 segundos tendremos 2.9L más y así sucesivamente. Resulta que si este concepto lo trasladamos a la interpretación gráfica tiene un significado muy importante. Estamos calculando el área que encierra la función, es decir, el rectángulo de altura 1.45 y de base el intervalo de tiempo que miremos. Pero poder calcular cuánto se llena la piscina en un intervalo de tiempo no es suficiente para poder relajarnos e ir al bar tras abrir el grifo. También necesitamos saber cuanta agua había inicialmente en la piscina. Si hacemos el cálculo para llenar la piscina entera pero ya de entrada estaba llena hasta la mitad estaremos tirando la mitad de agua fuera. Queda claro entonces que para evitar pagar agua extra y poder irnos al bar mientras se llena la piscina necesitamos calcular el área bajo función y además saber la cantidad de agua que había al inicio.

Pues ahora que tenemos esto claro vamos a poner la guinda al pastel. A partir de la función del caudal C(t) vamos a sacar la función que nos diga el agua en la piscina para cualquier instante de tiempo, es decir, una función L(t). Esta función L(t) la obtenemos estudiando el área que encierra la función del caudal C(t) y además teniendo en cuenta la cantidad de agua inicial en la piscina. Siendo C(t)=1.45 podemos hacerlo a “ojímetro” y decir con seguridad que si la piscina estaba inicialmente vacía la cantidad de agua en ella para un instante de tiempo dado  será L(t)=1.45t.

Los que recuerden de dónde venimos estarán diciendo -Oye oye… esto me suena… la función L(t)=1.45t ya la usamos y resulta que nos daba un caudal de 1.45L/s que es justamente la función C(t) que estamos usando ahora. Aquí hay gato encerrado.- Estáis en lo cierto, la verdad es que esto que estamos haciendo ahora se llama integrar y resulta que es exactamente lo contrario a lo que aprendimos derivando.

Cuando derivamos calculamos cómo varía una función R respecto a una variable como podría ser el tiempo t, mientras que cuando integramos una función S miramos que otra función T al derivarla nos daría la función S. Los nombres de las funciones R S T son totalmente al azar así que no os comáis el coco con eso.

integral

Escrito en palabras es larguísmo pero usando las mates queda así de bonito. El valor de K podemos saberlo con la condición inicial, si en nuestro caso para el momento t=0 el agua es L=0 entonces K=0

Pasando de segundos a horas y redondeando un poco llegamos a esas 11h y media

Pasando de segundos a horas y redondeando un poco llegamos a esas 11h y media

Ahora que conocemos L(t) la vida es mucho más sencilla. Si queremos que la piscina tenga 60000L entonces abriremos el grifo y sabremos que a partir de ese momento tendremos unas 11 horas y media libres antes de volver para cerrarlo. A esa conclusión podemos llegar gracias a L(t). Sustituyendo la cantidad de agua deseada en la función y despejando el tiempo necesario para alcanzarla.

Y con esta entrada decimos adiós con la manita a la introducción de cálculo diferencial que hemos hecho. Hay que ver los nombres que le ponen y al final nosotros simplemente nos hemos dedicado a sacar tiempo libre para ir con los colegas mientras se llena la piscina. Ya para poner el broche os dejo con una entrada resumen donde profundizaremos en la relación entre derivar e integrar:)

 

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La importancia de comprender el cambio -Parte 2-

En la parte 1 nos quedamos en que para la función L(t)=2tno solo la cantidad de agua en la piscina cambiaba sino que además la velocidad a la que aumentaba el agua también cambiaba. Ahora el reto está en encontrar la función que para cada instante de tiempo nos dice a qué velocidad se está llenando la piscina.

Ya dejamos claro que la velocidad media a la que se llena la piscina entre 2 instantes de tiempo era cuanto se había llenado dividido por el tiempo que le había llevado hacerlo y para esta función según que 2 puntos comparemos obtendremos una velocidad u otra. Pero saber la velocidad media a la que se llena en un intervalo de tiempo no mola tanto como saber la velocidad exacta a la que se llena en cada instante de tiempo. Para conseguir esa velocidad aplicaremos ese mismo concepto a un intervalo de tiempo tan pequeño que prácticamente deje de ser un intervalo de tiempo y pase a ser un punto, es decir, un instante de tiempo.

La recta que uniría ambos puntos tendría una pendiente de 16.002L por cada segundo avanzado

La recta que uniría ambos puntos tendría una pendiente de 16.002L por cada segundo avanzado

Digamos que quiero saber la velocidad a la que se llenaba en el segundo 4. Simplemente tendré que tomar un intervalo muy pequeño y hacer el cálculo. El resultado lo podéis ver en la imagen.

Sin embargo los más avispados estaréis pensando -Eh un momento… eso sigue siendo un intervalo de tiempo. Es pequeñito pero sigue siendo un intervalo. Concretamente de 0.001s- y lleváis toda la razón así que vamos a usar el intervalo de tiempo más pequeño posible. Para poder hacerlo voy a presentaros a un nuevo operador matemático, se llama Límite y se encarga de hacer las cosas muy cercanas a algo, vamos que las deja al límite. Viendo la definición queda claro que no se calentaron mucho la cabeza con el nombre.

Ahora que tenemos este nuevo amigo a nuestro favor vamos a intentar averiguar la velocidad a la que se está llenando la piscina en el segundo 4

me cago en la puta

Ahora el que intervalo de tiempo Δt es infinitamente pequeño podemos decir que la pendiente de la recta que une esos 2 puntos infinitamente próximos es 16L llenados por cada segundo avanzado. Matemáticamente se leería: El incremento de agua en la piscina en el intervalo de tiempo infinitamente pequeño entre el seg 4 y el siguiente instante [ L(t=4+ Δt)-L(t=4) ] dividido por dicho intervalo de tiempo en el que ocurre [ Δt ]

Esta sí que es la velocidad instantánea a la que se llena la piscina, pero esa velocidad es solo válida para el segundo 4 y nos propusimos como objetivo obtener una función que nos diera la velocidad a la que se llena en cada instante de tiempo así que si hemos podido calcularlo para el segundo 4 nada nos impide hacerlo para cualquier otro momento.

Lo que haremos será dejarlo en función del tiempo en lugar de calcularlo para un instante concreto. Aunque esto sea más abstracto que lo que hemos hecho antes lo cierto es que es más fácil.

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Puede que las letras os líen pero si habéis entendido lo de arriba os aseguro que también entendéis esto perfectamente. Al fin y al cabo seguimos mirando en la gráfica lo que sube la función en el tramo que avanza sólo que ahora lo hacemos para un punto genérico.

Y eso queridos amigos es la función que os describe la velocidad a la que se llena la piscina en cada punto. A esa velocidad de llenado se le suele llamar caudal de agua así que a la función la bautizaremos como C de manera que quedará C(t)=4t y podéis comprobar que si calculáis el caudal en el segundo 4 os dará el resultado que antes conseguimos de 16L/s.

A esto de mirar la tasa de cambio instantánea de una función le solemos llamar derivar aunque a mi me gusta más decir tasa de cambio porque hay más de uno por ahí que cuando deriva una función simplemente hace los cálculos y pierde la perspectiva de lo que está haciendo.

Pues con esto y un bizcocho os habéis iniciado en el cálculo difirencialocho. Está claro que se me dan mejor las mates que las rimas pero para que no podáis pensar mucho en eso os dejo con la siguiente pregunta. Si sabéis el caudal que entra en la piscina,¿podéis saber cuánta agua hay en ella? ¡Descubridlo en la siguiente entrada!

 

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La importancia de comprender el cambio -Parte 1-

En Cuando las ecuaciones aspiran a algo más os prometí que ahora que habíamos visto en que consiste una función ya estábamos preparados para estudiar cómo cambia. Para asimilarlo bien vamos a poner un ejemplo que es como más fácil entran estas cosas.

Dan ganas de bañarse nada más que de mirarla.

Pensad que queréis llenar una piscina. Para hacerlo con mucho estilo cogéis la chorrimanguera de Loulogio y simplemente empezáis a echar agua dentro. Resulta que gracias a unas marcas que tiene la piscina siempre podemos saber cuánto volumen de agua tiene ya dentro así que cogemos y representamos eso con una función matemática que nos diga la cantidad de agua en cada momento, en concreto en nuestro ejemplo diremos que esa función es L(t) = 1,45t.

Para hacernos mejor a la idea de qué significa esto vamos a calcular la cantidad de agua en la piscina para unos cuantos instantes de tiempo y además lo vamos a representar gráficamente.

grafica y tablaVemos entonces que, como era de esperar, la cantidad de agua total en la piscina va aumentando. Pero ahora nos surge una duda, ¿a qué velocidad aumenta? Para saberlo basta con usar la lógica. Tendremos que ver cuanto se llena la piscina en un intervalo de tiempo. De momento escojamos el intervalo entre el segundo 1 y el segundo 0. En el segundo 1 hay 1,45L mientras que en el 0 hay 0L. La cantidad de agua ha aumentado 1,45L en 1 segundo así que es evidente que la velocidad a la que se llena debe de ser 1,45L/s.

llenado de piscina

Cantidad de agua en la piscina en un intervalo de tiempo dividido por dicho intervalo.

Esto que es algo que nuestro cerebro hace automáticamente y expresado de forma matemática sería como queda en la ecuación a la derecha. Lo mismo podríamos hacer con 2 puntos cualesquiera de nuestra función recta pero una propiedad curiosa de las rectas es que siempre obtendréis el mismo resultado sin importar que 2 puntos comparéis. El motivo de esto lo entenderéis si mirando la gráfica leéis la operación como lo que sube la función por cada unidad avanzada o dicho de otro modo, la pendiente. Viéndolo así es evidente que una recta tiene siempre la misma pendiente ya que en caso contrario no sería una recta. Pero, ¿y si la función que describe el agua en la piscina no fuera una recta? Algo como L(t) = 2t2. Esto es una parábola y se ve así.

La manguera debe estar echando el agua cada vez más rápido porque la cantidad de agua crece a mayor velocidad conforme pasa el tiempo.

La manguera debe estar echando el agua cada vez más rápido porque la cantidad de agua crece a mayor velocidad conforme pasa el tiempo.

Ahora vemos que el intervalo entre 1s y 0s el agua aumenta 2L, es decir, a 2L/s mientras que en el intervalo 2s y 0s aumenta 8L de manera que la velocidad es 4L/s. A diferencia de lo que ocurría en la recta según que 2 puntos comparemos obtendremos una pendiente o tasa de cambio distinta.

Tras darle un poco de vueltas al coco llegamos a la siguiente conclusión. No solo la cantidad de agua en la piscina depende del tiempo sino que además la velocidad a la que se llena también. Entonces si tenemos una función que para cada instante de tiempo nos dice la cantidad de agua en la piscina, ¿habrá otra que nos diga a que velocidad se está llenando en cada instante?

Lo cierto es que sí. Pero os dejaré con la curiosidad hasta la siguiente entrada😉

 

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Cuando las ecuaciones aspiran a algo más

Podéis ir asignando infinitos valores a d y m para que se cumpla la ecuación.

Podéis ir asignando infinitos valores a d y m para que se cumpla la ecuación.

En la entrada “Esto salta al otro miembro sumando” y otros mitos del colegio nos quedamos en el tercer y más interesante caso de los 3 que podemos encontrar al enfretarnos a una ecuación. Cuando hay infinitas soluciones posibles que hacen que ambos miembros de la ecuación sean iguales.

Por ejemplo en nuestra ecuación d=m+1 vemos que podemos asignar infinitos valores para m y d que hacen que nuestra ecuación sea verdad. Algunos de ellos podrían ser d=2 con m=1 ó d=-1 con m=-2.

Podemos observar que asignarle un valor a cualquiera de las 2 variables inmediatamente condiciona el valor de la otra. En concreto esa relación entre las variables es la que nos marca nuestra ecuación d=m+1. Si asignamos un valor cualquiera a m ya sabemos que d será ese valor de m más 1.

Dicho con palabras puede sonar raro y quedar demasiado abstracto… Ojalá pudiéramos representarlo con un dibujo o algo para poder visualizarlo mejor. Un momento, ¡sí que podemos! Para hacerlo vamos a poner 2 ejes, uno horizontal para m y otro vertical para d, y después vamos a representar ahí las soluciones de nuestra ecuación.

Para cada valor que le asignamos a m obtenemos un valor de d.

Para cada valor que le asignamos a m obtenemos un valor de d.

Al calcular unas cuantas soluciones y marcar sus puntos en nuestro dibujo ya podremos intuir que todas y cada una de las soluciones de nuestra ecuación están sobre la línea recta que une los puntos que hemos calculado y si encuentras alguno que no esté ahí toca ir al psicólogo o a por un premio gordo.

Llegados a este punto es hora de revelar el pastel, esto de las ecuaciones con infinitas soluciones es lo que normalmente llamamos función y esta que acabamos de hacer la podríamos describir como d=f(m)=m+1, es decir, la variable d es una función cuyo valor depende del valor de m. Dicho valor de d será m+1. Generalmente al valor que le damos a m le llamamos entrada y al valor que toma nuestra función d en consecuencia de la entrada le llamamos salida. Por ejemplo para la entrada m=8 obtenemos un valor de salida d=9.

De este nuevo bicho llamado funciones nos interesa generalmente 3 cosas:

  1. Su valor
  2. Cómo cambia su valor en función de la entrada
  3. El área que encierra bajo ella

Nosotros en esta entrada hemos visto bien como funciona el primer punto que es el más sencillo de los 3. Ahora abrochaos los cinturones que vamos a por el segundo🙂

Nota: Puede que nunca hayáis visto la notación matemática así que os aclaro este pequeño detalle, f(b) se leería f de b, es decir, el valor de la función f depende de b. A veces es molesto cuando en los libros no sabes cómo leer algo. Quería ponerlo al principio pero no había manera de hacerlo sin romper la sorpresa de llegar a las funciones viniendo de las ecuaciones.

 

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