Albañiles matemáticos

Curiosidad: La resta es la suma de números negativos y la división es la multiplicación de fracciones o números no enteros.

Las matemáticas son densas, eso es innegable. Pero vistas poco a poco tienen mucho encanto. Suele ocurrir que las prisas en el colegio nos impiden disfrutar del viaje y asentar las bases como es debido así que para solucionar eso hoy vamos a hablar de los operadores matemáticos e iremos avanzando hasta mancharnos bien de barro.

Tranquilos, no os voy a poner a sumar como cuando éramos pequeños. Lo que quiero es que pensemos por un momento lo que hace un operador.

Su funcionamiento es sencillo, por un lado le das una entrada y por otro él te devuelve una salida. Quizá dicho así parezca raro así que vamos a ayudarnos de una metáfora.

Los operadores son como albañiles, por ejemplo tenemos al albañil Suma. Para hacerle funcionar tendrás que darle 2 ladrillos. Básicamente le da igual de lo que esté hecho, no le importa si son números positivos, negativos, funciones o lo que sea. El albañil Suma no es tiquismiquis, le eches lo que le eches te construirá algo nuevo con eso. La construcción será el resultado de dicha operación.

También hay albañiles que si les pillas en un mal día les da igual lo que les digas porque al final te impondrán sus condiciones. Esto por ejemplo le ocurre al albañil Potencia cuando le das cualquier ladrillo como base y un número par como ladrillo exponente. No le importará si el ladrillo base era positivo o negativo, te dará un resultado positivo. Aquí tenéis una muestra:

3= 3·3 = 3+3+3 = 9

(-3)= (-3)·(-3) = 3+3+3 = 9

Salen a la luz 2 datos interesantes. Primero vemos que el albañil Potencia es un primo cercano del albañil Multiplicación y este a su vez también está emparentado con el albañil Suma. Y en segundo lugar vemos que la multiplicación de 2 números negativos da lugar a números positivos. Es algo que nos hacen memorizar en el colegio pero rara vez nos explican así que si habéis sentido curiosidad por este fenómeno alguna vez aquí os dejo el por qué ocure esto:)

Hay otros albañiles más eficientes como es el caso del albañil Coseno. Se trata de un albañil trigonométrico que solo necesita un ladrillo para dar un resultado aunque no os creáis que los albañiles trigonométricos son todos tan simpáticos. Algunos de ellos como el albañil Arcocoseno solo acepta ladrillos comprendidos entre -1 y 1. Si intentas colarle algo distinto verás el odiado “Math ERROR” de la calculadora. Más adelante hablaremos de la trigonometría así que no te preocupes si de momento te suena un poco a chino.

 

¿Pero qué pasa si no conocemos todos los números que participan en la operación? Si la curiosidad te está matando aquí tienes la respuesta.

De las 2 entradas que necesita el operador suma solo conocemos una. Habrá que pelear para averiguar la otra.

De las 2 entradas que necesita el operador suma solo conocemos una. Habrá que pelear para averiguar la otra.

 

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El punto de vista importa -Parte 3-

Tras una primera y segunda entrada hablando del tema llegamos al desenlace donde veremos las consecuencias de todo lo explicado. Empecemos el final de todo esto poniendo a funcionar la máquina que tenemos entre las orejas utilizando la imaginación.


 

Imaginad a Paco, tras desmayarse en sospechosas circunstancias despierta en una sala con una ventana con las persianas cerradas y una pelota parada en el suelo. De repente desde un altavoz en la esquina suena lo siguiente.

-Quiero jugar a un juego ¿A qué velocidad va la pelota?

Cógele cariño que vamos a pensar en ella todo el rato.

Rápidamente el recuerdo de ciertas películas acude a su cabeza y sabe que más le vale responder correctamente. Tras limpiar sus gafas y mirar detenidamente la pelota responde.

-La pelota no tiene velocidad alguna.

-Abre la persiana si tan convencido estás.

Al abrir la persiana Paco se da cuenta de su error, la habitación es en verdad un vagón de tren del AVE que va a 180 km/h. Por un lado se asusta por el posible castigo pero por el otro se alegra de haberse sacado un billete de AVE gratis.

-¡Era una pregunta trampa! No me habías dicho que nos estábamos moviendo.

-Te perdonaré esta vez porque en parte has respondido correctamente. En un sistema de referencia dentro del vagón la pelota no se mueve aunque respecto al suelo sí lo haga. Te daré otra oportunidad. Esta vez tendrás que correr a 185 km/h si quieres seguir con vida.

En ese preciso instante un gas de aspecto extraño comenzó a entrar por uno de los extremos del vagón. Paco ya se daba por muerto, creía que intentar correr a esa velocidad no tendría sentido, pero de repente comprendió que de nuevo se la estaban intentando colar. Si el tren iba a 180 km/h sería sencillo moverse a 185 km/h respecto al suelo. En ese momento comenzó a caminar tranquilamente a 5 km/h en el sentido en el que iba el tren escapando así del gas y alcanzando el siguiente vagón. En el centro había de nuevo una pelota quieta y desde un segundo altavoz se escuchó.

-Veo que lo has logrado. La mitad se quedan bloqueados pensando como correr tan rápido y los alcanza el gas.

-Es que de vez en cuando me meto a leer cosas en tryphysics.com así que soy tope de listo.

-¡Déjate de spam que aún no hemos terminado! Este es el último reto. En un minuto haré que la pelota se mueva a la izquierda y lo haré sin aplicar ninguna fuerza sobre ésta. Si antes de ese minuto no me dices como voy a hacerlo encenderé esa televisión que tienes delante y pondré cotilleos hasta que te dé un derrame cerebral.

Paco estaba en shock, ¿mover la pelota sin aplicar ninguna fuerza? Hay fuerzas invisibles como la gravitatoria o eléctrica, pero siguen siendo fuerzas al fin y al cabo… ¿Dónde estaba el truco esta vez? El tiempo corría y la solución parecía querer hacerse la dura. Las anteriores preguntas escondían sus respuestas tras los sistemas de referencia, ¿sería esta distinta? Y ahí fue cuando recordó esos viajes con la familia en coche. En cada curva sus hermanos lo aplastaban contra la puerta con la excusa de no poder soportar el impulso. Sin embargo cuando la curva iba en su favor era él el que sentía ese impulso y los espachurraba contra el cristal.

-¡Lo tengo! ¡El tren va a tomar una curva a la derecha! Entonces la pelota comenzará a rodar de manera que, aunque respecto al suelo fuera del tren se mantenga en línea recta, para los que estamos en el vagón será como si la pelota se moviera mágicamente a la izquierda.

-Has acertado… ¿Cómo demonios lo has sabido?

-Familia numerosa y un coche pequeño. Es lo primero que debes aprender para sobrevivir.

-De acuerdo, tú ganas. Esta vez sobrevivirás pero el viaje de vuelta a casa te lo consigues tú solito que esto de pagar 2 vagones enteros para jugar me está sangrando el sueldo.


 

Y así con una historieta hemos visto los sistemas de referencia inerciales y no inerciales:)

Los primeros se caracterizan porque dichos sistemas no tienen aceleración alguna.

Adición de velocidades. Todos nos hemos sentido Usain Bolt corriendo por aquí.

Eso significa que no varían su velocidad ni en módulo ni en dirección, es decir, van en línea recta a una velocidad constante. Generalmente buscamos trabajar con ellos porque todo es más sencillo en parte porque a nuestro cerebro le cuesta menos digerirlo. En ellos podemos destacar la adición de velocidades.

Por otro lado tenemos los sistemas no inerciales que a diferencia de los otros sí tienen aceleración. Además de darse la adición de velocidades también aparecen “fuerzas ficticias” como resultado de la aceleración del sistema de referencia. Un ejemplo de estos sistemas es el propio planeta Tierra. Es algo que en pequeñas distancias no notamos pero por ejemplo un francotirador de larga distancia tendrá que tener en cuenta antes de disparar. En este vídeo le añadimos más velocidad de rotación al sistema para que el efecto se note en pequeñas velocidades.

Y con esto amigos finalizamos el tema de sistemas de referencia. Quizá los que vengáis de la parte 2 os preguntáis que ha sido de Einstein. De momento solo era un artista invitado pero tiempo al tiempo que los edificios grandes necesitan primero unos cimientos fuertes.

 

 

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El punto de vista importa -Parte 2-

Ahora que habéis hecho el calentamiento podemos ir un poco más rápido y mancharnos de barro sin preocupaciones. Tal y como os contaba en la parte 1, un sistema de referencia lo inventamos simplemente para poder medir los sucesos respecto a algo. Ya aprendimos a aplicar este concepto al tiempo así que le ha llegado la hora al espacio.

Estamos tan acostumbrados a la idea de “espacio” que no solemos recapacitar en ella pero vamos a hacerlo por un momento. El concepto más básico que podemos tener de él es que es el lugar en el que estamos y/o podemos estar y esa idea es más que suficiente. Nosotros vivimos en un espacio tridimensional así que como diría Jack el Destripador, vamos por partes. Primero tenemos que aclarar el significado de “dimensión”.

A diferencia de la línea temporal en esta sí podemos movernos en ambos sentidos

A diferencia de la línea temporal en esta sí podemos movernos en ambos sentidos

Una dimensión es básicamente una medida como la distancia a un punto, un ángulo, etc. Es habitual trabajar con direcciones siendo una dirección una recta en la que podemos estar. En otras palabras, se trata de una recta sobre la que podríamos caminar. Al igual que con la línea del tiempo la dividimos en segmentos iguales de tamaño arbitrario, por ejemplo en metros. Por último a un punto le damos el honor de considerarlo origen. ¿Fácil, no? Quizás demasiado. Diría que si el mundo tan solo tuviera una dimensión espacial sería muy aburrido ya que solo podríamos ir hacia adelante o atrás en esa dirección, pero tranquilos que afortunadamente tiene 3.

Pudiendo usar las 3 dimensiones ya podemos ir a cualquier punto que queramos.

Notad que dirección y sentido son diferentes. La dirección es la recta y el sentido es a cual de sus extremos nos dirigimos.

En un golpe de ingenio decidimos que ya que hemos nombrado un punto como origen para una de las dimensiones también lo usaremos para las demás. Además hemos aclarado que una dimensión es una dirección en la que puedes moverte así que solo nos queda añadir las 2 rectas que representan dichas direcciones.

Una vez tenemos las 3 posibles direcciones a nuestro servicio, ya podemos ir a cualquier punto del espacio que deseemos, al menos matemáticamente hablando. Me temo que para ir a las Fiyi necesitarás algo más que saber todo esto.

Finalmente podemos hablar de lo que hace tan interesante a los sistemas de referencia espacial. ¡Se pueden mover! Por ejemplo, si colocamos un sistema en nosotros mismos y echamos a andar nos estaremos llevando el sistema de referencia con nosotros. Esto que así en frío no parece algo espectacular resulta que tiene unas consecuencias sorprendentes.

Según Einstein ambas personas medirán que la luz se acerca a ellos a la misma velocidad independiente de su propia velocidad.

Aquí donde lo veis fue la principal causa que dio origen a la teoría de la relatividad especial de Einstein y a la fusión del espacio y el tiempo dando lugar al espacio-tiempo.

Y ahora que estamos en el punto álgido de la entrada ha llegado el momento de cortar y dejar paso a la parte 3. No me culpéis a mí, aprendí esto de Juego de Tronos.

 

 

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El punto de vista importa -Parte 1-

Solemos creer que una cualidad de las ciencias es que son como son, no importa como las mires o quien las escriba y esto es verdad hasta cierto punto así que vamos a ver donde está ese punto. Hoy vamos a hablar de los sistemas de referencia.

La utilidad principal del sistema de referencia es definir el marco en el que van a suceder los hechos. Podemos distinguir entre sistemas de referencia temporal y espacial. Ambos son necesarios pero los primeros son más sencillos de entender así que vamos a ir abriendo el apetito con ellos.

TIEMPO

Me temo que por ahora sólo podremos ir en un sentido.

Sistemas de referencia temporal:

El tiempo podemos visualizarlo como una línea recta siempre y cuando lo hagamos a escondidas de Einstein. Ahora esa línea recta vamos a dividirla en segmentos de igual magnitud llamados segundos. En algún punto de esa línea recta se encuentra el “ahora”, a un lado estará “antes” y al otro “después”. De momento no hemos descubierto el oro que digamos pero ahora viene lo bueno, toca definir el sistema de referencia. Es tan sencillo como decidir a qué punto de la recta le vamos a dar el honor de considerarlo origen, es decir, el punto en el que t=0. ¿Entonces antes de ese momento no hay nada? Claro que hay, el sistema de referencia podemos ponerlo dónde queramos y puede dar lugar a tiempos negativos por raro que suene. Un ejemplo de esto es nuestra propia sociedad. Nosotros le asignamos ese tiempo cero al supuesto nacimiento de Jesucristo y en ese momento dividimos la línea del tiempo en a.C. y d.C. así que si alguna vez en un examen decís el año -34 en lugar de 34 a.C. estaréis siendo matemáticamente correctos aunque mejor no lo hagáis, no estoy preparado para cargar con la responsabilidad de vuestros suspensos a mis espaldas. Mientras tanto los chinos tienen otro sistema de referencia, ellos colocaron el momento cero alrededor del 2600 a.C. de manera que mientras que nosotros estamos en 2015 ellos están a más del 4500. Pero no debemos olvidar que para ambos ha pasado el mismo tiempo, el sistema de referencia no es más que una forma de ordenar el tiempo.

“-Jordi Hurtado e Isabel II de Inglaterra, si estáis leyendo esto no os pongáis quisquillosos, para el resto de los mortales el tiempo no va como para vosotros. Un saludo.”

Trabajar siempre respecto al momento que definimos como origen puede ser engorroso ya que el momento cero nos queda un poco lejos pero no te preocupes, los sistemas de referencia solo están en tu cabeza así que puedes crear tantos como quieras. Por ejemplo, al lanzar una pelota puedo tomar un sistema de referencia temporal donde el momento cero es cuando inicio el lanzamiento. Esto evidentemente es mucho más práctico para resolver un problema que decir que inicio el lanzamiento a las 19h 20min 34seg  del 29/09/2015 D.C.

Ahora que tenéis las bases claras ya estáis preparados para meter las zarpas en los sistemas de referencia espacial y preparaos que estos se pueden mover. Nos vemos en la -Parte 2-

 

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Realidad a medida

En la Naturaleza tienes 2 opciones. Adaptarte o morir. Nosotros los humanos hemos hecho trampas y nos hemos sacado una tercera opción de debajo de la manga. Adaptar el medio a nosotros en lugar de nosotros a él. Gracias a esto hemos conseguido vivir en lugares tan inhóspitos como la Antártida, Sevilla en verano y el espacio exterior. Este truco de adaptar el medio a nosotros ha demostrado su gran utilidad así que por qué limitar su uso a transformar la naturaleza.

En física constantemente se hace esto, incluso existe el famoso chiste de la vaca. La física se dedica al estudio de los sucesos que ocurren a nuestro alrededor, pero hay un problema. Esos sucesos suelen ser tremendamente complejos, dependen de demasiadas variables y se vuelven inabarcables. Y es aquí cuando viene al rescate la herramienta del modelaje.

A la hora de estudiar una situación lo que hacemos es plantear un modelo que describa las características principales del suceso que estudiamos. Haremos este modelo tan complejo como detallados queramos los resultados y eso es a gusto del consumidor. Nada mejor que un ejemplo para que nos entendamos.

Situación real a estudiar: Lanzar mi bola de petanca a una posición concreta.

Bola de petanca. Abstenerse de lanzar a cabezas ajenas.

Variables que afectan al proceso real

  • La gravedad del lugar en el que estoy
  • La masa de la bola
  • El rozamiento con el aire
  • Velocidad lineal inicial de la bola
  • Velocidad rotacional inicial de la bola

Esas son básicamente todas las variables que hay que tener en cuenta al lanzar un proyectil, sin embargo incluirlas todas en nuestro modelo puede ser innecesario ya que la importancia de algunas de ellas es irrelevante en este caso. Siguiendo este razonamiento en mi modelo incluiré

Variables que afectan al modelo

  • La gravedad
  • La masa de la bola
  • Velocidad lineal inicial

Siempre que hacemos simplificaciones de este tipo perderemos precisión en los resultados pero ganaremos tiempo libre para ir al bar de abajo a tomar algo.

El problema viene cuando el ansia por ir al bar puede contigo y simplificas demasiado un problema. Vamos a ilustrarlo con la siguiente situación.

Situación real a estudiar: Predecir si Roberto Carlos marcará gol calculando la trayectoria del balón.

Cuidado con él que tiene un cañón por pierna.

Variables que afectan al proceso real

  • La gravedad del lugar en el que estoy
  • La masa de la pelota
  • El rozamiento con el aire
  • Velocidad lineal inicial de la pelota
  • Velocidad rotacional inicial de la pelota

Te habrás percatado de que las variables son las mismas ya que al fin y al cabo sigue siendo el lanzamiento de un objeto a través del aire aunque esta vez lo lance con el pie. Tu experiencia previa te dice que el rozamiento con el aire y la velocidad de rotación no son especialmente importantes así que los desprecias y recluyes al baúl de los recuerdos. Terminas el problema sin mucha dificultad en un momento y coges esa cerveza que te llevaba llamando desde la nevera hace rato. Craso error. Aquí nuestro amigo Roberto está a punto de demostrarte que no te has ganado esa cerveza puesto que la trayectoria del balón en tu modelo y en la realidad son muy diferentes.

Aquí teneis la ruta de vuelo que ha seguido el cañonazo que le manda al portero.

Azul: Trayectoria de un balón sin rotación; Rosa: Trayectoria de un balón con rotación normal; Rojo: Trayectoria de un balón lanzado por Roberto cuando tiene un buen día

¿Cómo puede ser que el resultado del modelo(el azul) y el real(el rojo) difieran tanto? Es lo que ocurre cuando despreciamos efectos que tienen mucha importancia en la realidad. La tarea de modelar una situación real es un arte en el que la experiencia previa suele ser lo que marca la diferencia entre un buen y un mal modelo. Aunque puestos a aprender de errores mejor que sea de los de los otros así que espero que tengas en cuenta esta entrada la siguiente vez que quieras ver donde acabará el lanzamiento de un proyectil.

 

Quizá te estés preguntando dónde está el truco de ese golazo. La clave está en que el objeto se mueve a través de un fluido. Estamos tan acostumbrados al aire que tenemos alrededor que a veces no prestamos atención a sus efectos pero al igual que le ha ocurrido a este portero, es algo que nos puede salir caro. De momento solo os diré que la relación peso-velocidad del proyectil es lo que marca la diferencia entre considerar o no el rozamiento con el aire. No os preocupéis que profundizaremos más en estos complejos temas pero de momento vayamos paso a paso.

 

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La magia de la ciencia

Hoy arranca mi blog y como los buenos coches, lo hace con un estruendoso petardeo.

LA CIENCIA MOLA.

Nos vemos en la siguiente entrada, hasta mañana:)

¿Que queréis más? Eso tiene solución. Yo nací en 1995 y como la gran mayoría de chavales de mi generación, me quedé embobado con las aventuras de Harry Potter. Prácticamente crecí con ellas. Era muy difícil que no te enganchara, te planteaba un mundo enorme ante ti, lleno de misterios y cosas por descubrir. Pero si algo define los libros de Harry Potter eso es la magia. Sin duda el mayor disfrute y deleite del libro, capaz de hacer volar los coches, crear pinturas con las que podías hablar y muchas cosas más. Evidentemente yo también quería poder vivir aquello, quería ser mago. Sin embargo la carta de Hogwarts nunca llegó así que me tuve que conformar con el mundo de los muggles.

Arthur Weasley en todo su esplendor.

Fue una sorpresa para mí cuando descubrí un mago que alucinaba con nuestro mundo. Le encantaba nuestro ingenio. ¿Recordáis a Arthur Weasley? Era el padre de Ron Weasley y trabajaba en el ministerio de magia. Yo me preguntaba, ¿cómo un hombre que convive con la magia día a día le puede sorprender nuestro mundo? Bueno, digamos que la famosa frase la realidad supera a la ficción tiene la costumbre de llevar razón. Cosas más increíbles se ven en nuestro universo, si no me creéis pensad en las estrellas que nos iluminan, la gravedad que nos atrae, el efecto giroscópico, etc. Los magos muggles o como los llamamos entre nosotros, científicos e ingenieros, se han dedicado a desgranar las normas que rigen nuestro universo y a utilizarlas para llevarnos a donde estamos ahora.  Haciendo esto y sin ayuda de la magia hemos sido capaces de logros tan increíbles como volar, comunicarnos a miles de kilómetros y crear la tortilla de patatas y es que si ninguna de la 3 cosas os parece algo mágico diría que debéis que agudizar vuestros sentidos.

Aunque sí hay algo que tienen en común los magos y nuestros hombres de ciencia. El conocimiento que abarcan no lo adquirieron en un día.

Así hay que dejar los libros después de sacarles todo su jugo. Demostradles quien manda.

Es por eso que en este blog comenzaremos desde la base, y quién sabe, quizá algún día acabemos formando parte de ese exclusivo club de sabios.

En definitiva, está claro que Arthur tenía motivos para apreciar el encanto del ingenio de los muggles y yo a lo largo de este blog intentaré haceros ver por qué todos deberíamos darle la razón.

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