Polinomios: Búsqueda de raíces y factorización.

Resulta que un día estaba trabajando en cosas de la universidad y necesitaba factorizar unos polinomios. Algo de lo más típico cuando estás trabajando con física. La cuestión es que para factorizar, un proceso habitual es encontrar las raíces del polinomio y eso me hizo plantearme cuál es la relación entre la factorización y la búsqueda de raíces de un polinomio. Ambos son procesos que comúnmente se usan con objetivos distintos, sin embargo, son prácticamente equivalentes. Así que primero de todo, vamos a dar una pequeña definición de ambos procesos para asegurarnos de que todos estamos en la misma página cuando vayamos a profundizar un poco sobre el tema. Además, mencionaré algunas de las aplicaciones más importantes de ambos procesos.

  • Factorización: Es expresar un elemento como un producto de factores generalmente más sencillos. El caso que todos conocemos y recordamos del colegio es la factorización de números en números primos. Ejemplo: 25=5·5 ; 12=2·2·3 ; etc.
    Este proceso se puede aplicar también a polinomios. La idea es tomar un polinomio de un grado arbitrario y expresarlo como un producto de polinomios de grado 1. Ejemplo: x^2-1=(x+1)·(x-1) ; x^2+3x+2=(x+1)·(x+2)
    Aplicaciones: Muchas veces cuando queremos integrar o aplicar Laplace a una división de polinomios bastante fea podemos simplificarnos la vida si utilizamos la descomposición en fracciones simples y para eso hace falta factorizar.
  • Búsqueda de raíces: Consiste en encontrar para qué valores de x una función vale 0. Por ejemplo, la función polinómica P(x)=x^2-1 tiene por raices el -1 y el +1 ya que cuando x=-1 ó x=+1 entonces P=0. El nombre de raíz proviene de la interpretación gráfica de esa definición. El polinomio vale 0 cuando la gráfica que lo representa toca “el suelo” y de ahí que se le llame “raíz” del polinomio.
    Aplicaciones: El uso más importante y común es la resolución de ecuaciones, algo que es absolutamente crucial en matemáticas y tiene casi infinitos ámbitos de aplicación.

Bien, ahora que ya tenemos esas definiciones podemos meternos en harina. Para hacerlo vamos a resolver un ejemplo juntos e iremos RAZONANDO cada paso que demos. Digamos que queremos racionalizar el polinomio P(x)=x^2+3x+2. Eso significa que queremos expresar el polinomio de tal manera que quede P(x)=(x+a)(x+b) donde “a” y “b” son todavía desconocidos.

Debemos recordar que ambos son el mismo polinomio P(x) solo que escrito de distintas maneras. Vamos a prestar especial atención a la forma factorizada de P(x). Las raíces de eso polinomio serán -a y -b.Entonces, si encontramos las raíces de P(x), podremos conocer los valores de “a” y “b” y así factorizar el polinimio. Esto es realmente práctico ya que resulta que podemos averiguar las raíces de P(x) utilizando su otra expresión P(x)=x^2+3x+2 y la típica fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. 

Finalmente combinando la información obtenida hasta ahora podemos concluir que:
-a=-2=>a=2 ; -b=-1=>b=1 ; P(x)=x^2+3x+2=(x+a)(x+b)=(x+2)(x+1)

Y por eso cuando factorizamos utilizamos la búsqueda de raíces de un polinomio. Es un método muy rápido comparado con otros más “tradicionales” como la división polinómica. Además, es un método que se puede aplicar sin importar cuál sea el valor de esas raíces. Sin embargo, el método tiene UNA pega. La x de mayor grado debe ir sola. Por ejemplo, si es un polinomio de segundo grado habrá que expresarlo como P(x)=x^2+bx+c en lugar del típico ax^2+bx+c.

Sobre eso ya profundizaré en la siguiente entrada. De momento me contento con que hayáis entendido lo explicado y que la siguiente vez que tengáis que factorizar sepáis el por qué de las cosas que hacéis.

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