Vectores, números con dirección y sentido -Parte 3-

Espero que vengáis calentitos de la parte 2 porque ahora es cuando vienen las curvas. Con un poco de suerte al acabar podréis presumir de entender el producto escalar y vectorial.

Entenderlos no tiene misterio. Son así porque sí. Lo sé, no es una razón muy convincente pero simplemente los definimos con unas normas del mismo modo que un alfil solo se mueve en diagonal porque las reglas que creamos para jugar al ajedrez lo dictan. Sin embargo os puedo ayudar a entender por qué los definimos así con un poco de ayuda de la Física.

Ocurre lo siguiente, en física a veces necesitamos multiplicar unos escalares un poco particulares. La particularidad de estos escalares es que coinciden con las componentes de un vector, algo así como que su significado está incluido en el vector al que pertenece.

Para verlo con claridad haremos un ejemplo con el producto escalar y otro con el vectorial.

Producto escalar/Producto punto

El concepto energía ha sido objetivo de magufadas a lo largo de la historia incluyendo hoy día. Pero en física, ciencia que estudia el mundo que nos rodea, tenemos un concepto muy claro de lo que es la energía. Se puede dar de muchas formas distintas. Formas como energía cinética, potencial gravitatoria, potencial química y muchas más pero vamos a hacer hincapié en la primera.

La fuerza tangente al movimiento será la proyección del vector F sobre el vector d

Os pido que hagáis un acto de fe al creerme cuando digo que para calcular la energía cinética que adquiere un cuerpo empujado por una fuerza debemos multiplicar la fuerza tangente (Ftang) al movimiento que le hace aumentar su velocidad por la distancia recorrida (d) pero resulta que ambas magnitudes provienen de vectores. En concreto la fuerza tangencial proviene del vector fuerza (que incluye componente tangencial y normal al movimiento) y la distancia recorrida viene del vector posición. El por qué se calcula así la energía cinética adquirida lo explicaremos a su debido tiempo cuando indaguemos a fondo en el concepto “energía”.

En definitiva, tenemos la multiplicación de escalares Ftang·d pero molaría mucho más expresarlo en función de los vectores a los que pertenecen así que creamos lo que se llama producto escalar de manera que podamos afirmar F·d=Ftang·d. Por último solamente nos queda expresar cómo funciona el producto escalar para que esa afirmación sea correcta.

Ahí tenéis la proyección del vector A en el vector B. Ahora podríamos hacer la multiplicación de escalares Atang·B

Para entenderlo vamos a ver un caso general con los vectores A y B. Usando un poco de trigonometría podemos ver primero el valor de la proyección de A en B y después multiplicar Atang·B.

Igualmente podríamos haber proyectado B en A ya que el producto escalar es conmutativo de manera que A·B=Atang·B=B·A=Btang·A.

La forma más habitual de representar el producto escalar es con A·B=|A|·|B|cos(θ)

 

Con esto deberíais comprender qué es el producto punto/escalar y cómo funciona pero queda un detalle por decir. Hay una manera mucho más sencilla de calcularlo que es la que se suele enseñar en los institutos. Esta es A·B=(AX,AY)·(BX,BY)=AX·BX+AX·BY, sin embargo, además de que el por qué de esto no se explica resulta que esa operación no cuadra con ninguna de las ideas de proyectar que hemos explicado antes. ¿Cómo es posible que entonces siempre funcione? Resulta que tiene truco.

dd

El ángulo θ que forman ambos vectores es la resta de los ángulos de cada vector. Después dando caña a las identidades trigonométricas podemos llegar al clásico (AX,AY)·(BX,BY)=AX·BX+AX·BY

El desarrollo entero es un poco más largo pero me parece mucho más importante que entendamos de donde vienen las cosas a saber como desarrollar las identidades trigonométricas ese tipo de detalles.

Producto vectorial/Producto cruz

Tal y como decía uno de mis profesores de la universidad, “Las cosas que giran son un caos”. Quizás una afirmación un poco tremendista pero lo decía por un motivo, cuando hay cuerpos girando nuestra intuición comienza a fallar del mismo modo que a primera vista la velocidad de la luz nos parece infinita. Para superar nuestra intuición introdujimos la dinámica rotacional y si queremos manejarla hay que saber usar el producto vectorial.

Aviso, considero al producto vectorial ligeramente más complicado que el escalar pero si entendéis bien el primero este no se os debería resistir demasiado así que procurad llegar a este punto con las ideas más o menos claras.

Al  igual que hicimos con el producto escalar necesito que ahora simplemente creáis lo que digo ya que solo busco un ejemplo para que veáis el producto vectorial, ya veremos bien la dinámica rotacional en su momento. En fin, si queremos saber la fuerza que hace rotar un cuerpo (M) respecto a un punto necesitaremos multiplicar 2 escalares, la distancia (d) entre el punto de aplicación de la fuerza y el eje de giro por la componente de la fuerza que provoca el giro (Fnormal).

El que la Tierra sea un sistema de referencia no inercial ofrece estas chuladas de fotos.

Además el resultado de la multiplicación debe ser un vector ya que el eje de giro apunta en alguna dirección y cuando hablamos de direcciones ya sabemos qué toca. Por ejemplo el eje de giro de la Tierra tiene dirección, en concreto está alineado con la estrella polar. Es por eso que se puede usar para orientarse durante la noche ya que aunque la Tierra rote sobre sí misma la estrella polar aparenta estar en el mismo lugar del cielo.

Una vez más, ambos escalares que vamos a multiplicar provienen de vectores así que solo queda definir el producto vectorial/cruz de manera que se cumpla Fxd=Fnormal·d·n donde n es el vector unitario que indica la dirección del giro.

 

Con trigonometría podemos ver que para que se cumpla esa igualdad que dijimos debemos hacer Fxd=|F|·|d|·sin(θ)·n. La dirección de ese vector n lo metemos a mano, nunca mejor dicho. Para hacerlo debemos usar lo que se definió como regla de la mano derecha. No es más que un código para representar en qué sentido y dirección ocurren los giros. En el ejemplo de la imagen la dirección de giro queda representada por la dirección a la que apunta el pulgar y el sentido de giro lo véis enroscando a sobre b. Aquí el giro sería giro antihorario y el eje apunta en la dirección del pulgar.

A diferencia del producto escalar el producto vectorial no es conmutativo, es decir, AxBBxA. Si usáis de nuevo la regla de la mano derecha veréis que aunque la dirección del eje de giro(la recta que forma tu pulgar) es la misma, el sentido es el contrario(tu pulgar apunta en la otra dirección).

Y con esto termina mi introducción al funcionamiento de los vectores. Añadiendo esto a los resúmenes de cálculosistemas de referencia, trigonometría y ecuaciones creo que estamos preparados para estudiar el movimiento de una partícula. ¡Hasta la próxima!

 

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