Ventajas de entender el cambio

Al final le vamos a coger manía a la piscina esta de tanto pensar en ella.

En la entrada anterior descubrimos qué es eso de la tasa de cambio de una función con el ejemplo de nuestra querida piscina y al final os dejé con esta pregunta. Si conoces el caudal que entra en la piscina, ¿puedes conocer la cantidad de agua que hay dentro?

Saber la respuesta a esto es de vital importancia porque llenar una piscina lleva una cantidad de tiempo brutal y sería un pelotazo tener que quedarte a mirar como se llena poco a poco para asegurarte que no se desborda ni pasa nada. Lo ideal sería encender el grifo y saber cuánto tardará en llenarse. Entonces podríamos ir a tomarnos unas cañas y volver a tiempo para cerrar el grifo. Hagamos como siempre y vamos a verlo con un ejemplo.

Si os fijáis veréis que el área bajo la curva será la altura en L/s multiplicado por tiempo en s quedando el resultado en litros. ¡Señores que el área bajo ella es la cantidad de agua!

Si os fijáis veréis que el área bajo la curva será la altura en L/s multiplicado por tiempo en s quedando el resultado en litros. ¡Señores que el área bajo ella es la cantidad de agua!

Digamos que nuestro grifo nos da un caudal constante de 1.45L/s de manera que la función del caudal será C(t)=1.45

Para saber la cantidad de agua en la piscina tendremos que sumar lo se que llena en cada intervalo de tiempo. Si pasa 1 segundo habrá 1.45L más de agua, si pasan 2 segundos tendremos 2.9L más y así sucesivamente. Resulta que si este concepto lo trasladamos a la interpretación gráfica tiene un significado muy importante. Estamos calculando el área que encierra la función, es decir, el rectángulo de altura 1.45 y de base el intervalo de tiempo que miremos. Pero poder calcular cuánto se llena la piscina en un intervalo de tiempo no es suficiente para poder relajarnos e ir al bar tras abrir el grifo. También necesitamos saber cuanta agua había inicialmente en la piscina. Si hacemos el cálculo para llenar la piscina entera pero ya de entrada estaba llena hasta la mitad estaremos tirando la mitad de agua fuera. Queda claro entonces que para evitar pagar agua extra y poder irnos al bar mientras se llena la piscina necesitamos calcular el área bajo función y además saber la cantidad de agua que había al inicio.

Pues ahora que tenemos esto claro vamos a poner la guinda al pastel. A partir de la función del caudal C(t) vamos a sacar la función que nos diga el agua en la piscina para cualquier instante de tiempo, es decir, una función L(t). Esta función L(t) la obtenemos estudiando el área que encierra la función del caudal C(t) y además teniendo en cuenta la cantidad de agua inicial en la piscina. Siendo C(t)=1.45 podemos hacerlo a “ojímetro” y decir con seguridad que si la piscina estaba inicialmente vacía la cantidad de agua en ella para un instante de tiempo dado  será L(t)=1.45t.

Los que recuerden de dónde venimos estarán diciendo -Oye oye… esto me suena… la función L(t)=1.45t ya la usamos y resulta que nos daba un caudal de 1.45L/s que es justamente la función C(t) que estamos usando ahora. Aquí hay gato encerrado.- Estáis en lo cierto, la verdad es que esto que estamos haciendo ahora se llama integrar y resulta que es exactamente lo contrario a lo que aprendimos derivando.

Cuando derivamos calculamos cómo varía una función R respecto a una variable como podría ser el tiempo t, mientras que cuando integramos una función S miramos que otra función T al derivarla nos daría la función S. Los nombres de las funciones R S T son totalmente al azar así que no os comáis el coco con eso.

integral

Escrito en palabras es larguísmo pero usando las mates queda así de bonito. El valor de K podemos saberlo con la condición inicial, si en nuestro caso para el momento t=0 el agua es L=0 entonces K=0

Pasando de segundos a horas y redondeando un poco llegamos a esas 11h y media

Pasando de segundos a horas y redondeando un poco llegamos a esas 11h y media

Ahora que conocemos L(t) la vida es mucho más sencilla. Si queremos que la piscina tenga 60000L entonces abriremos el grifo y sabremos que a partir de ese momento tendremos unas 11 horas y media libres antes de volver para cerrarlo. A esa conclusión podemos llegar gracias a L(t). Sustituyendo la cantidad de agua deseada en la función y despejando el tiempo necesario para alcanzarla.

Y con esta entrada decimos adiós con la manita a la introducción de cálculo diferencial que hemos hecho. Hay que ver los nombres que le ponen y al final nosotros simplemente nos hemos dedicado a sacar tiempo libre para ir con los colegas mientras se llena la piscina. Ya para poner el broche os dejo con una entrada resumen donde profundizaremos en la relación entre derivar e integrar:)

 

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